Aksjomat determinacji

Z Wikipedii

Aksjomat determinacji - zdanie w teorii mnogości postulujące zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych.

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak aksjomat AD, którego nie można udowodnić na gruncie aksjomatów ZF i który implikuje, że aksjomat wyboru jest fałszywy. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.

W dalszej części tego artykułu będziemy używać oznaczeń i definicji wprowadzonych w artykule o grach nieskończonych.

Spis treści

1 Rys historyczny
2 Aksjomat i jego wersje
- 2.1 Definicje wstępne
- 2.2 Aksjomaty determinacji
3 Konsekwencje
4 Bibliografia
5 Zobacz też

[edytuj] Rys historyczny

Pierwsza gra nieskończona była opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura.
W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus^[1] zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego^[2]^[3]^[4].
W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz $A\subseteq \omega^\omega$ jest zbiorem analitycznym, to gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana^[5].
W 1975 Martin wykazał, że jeśli $A\subseteq \omega^\omega$ jest zbiorem borelowskim, to gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana^[6]^[7].
W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane^[8]^[9]. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.
W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu ${\mathbf P}_{\rm max}$ , które okazało się kluczowym elementem badań struktury $({\mathcal H}(\omega_2),\in,I_{NS}$ ) przy założeniu AD w ${\mathbf{L}}({\mathbb R})$ (gdzie $I N S$ jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów $ω 1$ , a ${\mathcal H}(\omega_2)$ jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy $< ω 2$ )^[10].

[edytuj] Aksjomat i jego wersje

[edytuj] Definicje wstępne

Przypomnijmy następujące definicje:

Niech ${\mathcal X}$ będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech $A\subseteq {\mathcal X}^\omega$ . Gra $\Game^{\mathcal X}(A)$ pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony $\eta=\langle\eta(n):n\in\omega\rangle\in {\mathcal X}^\omega$ o wyrazach w ${\mathcal X}$ w taki sposób, że po tym jak już $\eta\upharpoonright n=\langle\eta(k):k<n\rangle$ zostało wybrane, to

jeśli

n

jest parzyste, to gracz I wybiera

η(n)

, a

jeśli

n

jest nieparzyste, to gracz II wybiera

η(n)

.

Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg $\eta=\langle\eta(n):n\in\omega\rangle\in {\mathcal X}^\omega$ , powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli $\eta\in A$ .

Strategia dla gracza I to funkcja $\sigma:\bigcup\limits_{k\in\omega} {\mathcal X}^{2k}\longrightarrow {\mathcal X}$ . Powiemy, że ciąg $\eta\in {\mathcal X}^\omega$ jest zgodny ze strategią σ jeśli $(\forall k\in\omega)(\eta(2k)=\sigma(\eta\upharpoonright 2k))$ . Strategia σ dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w $\Game^{\mathcal X}(A)$ , jeśli każdy ciąg η zgodny z σ należy do zbioru A.
Strategia dla gracza II to funkcja $\tau:\bigcup\limits_{k\in\omega} {\mathcal X}^{2k+1}\longrightarrow {\mathcal X}$ . Powiemy, że ciąg $\eta\in {\mathcal X}^\omega$ jest zgodny ze strategią τ jeśli $(\forall k\in\omega)(\eta(2k+1)=\tau(\eta\upharpoonright (2k+1)))$ . Strategia τ dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w $\Game^{\mathcal X}(A)$ jeśli żaden ciąg η zgodny z τ nie należy do zbioru A.
Powiemy że gra $\Game^{\mathcal X}(A)$ jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

[edytuj] Aksjomaty determinacji

Aksjomat determinacji AD to zdanie

dla każdego zbioru $A\subseteq \omega^\omega$ gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana.

Aksjomat determinacji rzeczywistej ${\bold{AD}}_{\mathbb R}$ to zdanie

dla każdego zbioru $A\subseteq {\mathbb R}^\omega$ gra $\Game^{\mathbb R}(A)$ jest zdeterminowana

(gdzie ${\mathbb R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych).

Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie

dla każdego zbioru rzutowego $A\subseteq \omega^\omega$ gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana.

[edytuj] Konsekwencje

${\bold{AD}}_{\mathbb R}$ implikuje AD.
Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD:

Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a.
Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a.
Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
Dla każdego $x\subseteq\omega$ , $\aleph_1$ jest liczbą nieosiągalną w ${\bold{L}}[x]$ .
$\aleph_1$ jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
$\aleph_2$ jest liczbą mierzalną.

Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD:

Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a.
Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a.
Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.

Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to

${\bold{L}}({\mathbb R})\models {\bold{AD}}$ oraz
PD jest prawdziwe.

Teoria "ZF+AD" jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria "ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina".

[edytuj] Bibliografia

↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H.: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. "Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys." 10 (1962), s. 1-3
↑ Mycielski, Jan i Świerczkowski, Stanisław: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae". 54 (1964), s. 67-71.
↑ Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae" 53 (1963/1964), s. 205-224.
↑ Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. II. "Fundamenta Mathematicae" 59 (1966), s. 203-212
↑ Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
↑ Martin, Donald A.: Borel determinacy. "Ann. of Math." (2) 102 (1975), nr 2, s. 363-371.
↑ Martin, Donald A.: A purely inductive proof of Borel determinacy. "Recursion theory (Ithaca, N.Y., 1982)", Proc. Sympos. Pure Math., 42 (1985). s. 303-308.
↑ Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 85 (1988), s. 6587-6591.
↑ Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. "J. Amer. Math. Soc." 2 (1989), s. 1, 71-125.
↑ Woodin, W. Hugh: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. "de Gruyter Series in Logic and its Applications", 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ISBN 3-11-015708-X

[edytuj] Zobacz też

Paypal przejmie pełną odpowiedzialność za transakcje

Klienci portalu aukcyjnego eBay, którzy padli ofiara oszustów, mogą spodziewać się całkowitego zwrotu kosztów, wliczając koszty przesyłki.

11 poprawek od Microsoft (uwaga na fałszywe aktualizacje!)

W najbliższy wtorek Microsoft udostępni 11 poprawek, z których cztery eliminują luki ocenione jako "krytyczne". Mogą one zostać wykorzystane do zdalnego wykonania szkodliwego kodu. Dziury te występują w Windows, Internet Explorer, Host Integration Server i Excelu.

40 proc. fałszywych kont na Facebook

Spamerzy i autorzy szkodliwego oprogramowania w pełni wykorzystują możliwości, jakie oferują portale społecznościowe.

Jest pierwsza wersja OpenOffice.org 3.0

Darmowy pakiet biurowy OpenOffice jest już dostępny w wersji 3.0.

Przesłuchaj zanim opublikujesz!

Głosowe odczytywanie komentarzy na YouTube – nowa usługa najpopularniejszego serwisu wideo.

Linki: Strona g��wna

[0] Mycielski, Jan; Steinhaus, H.: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. "Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys." 10 (1962), s. 1-3

[1] Mycielski, Jan i Świerczkowski, Stanisław: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae". 54 (1964), s. 67-71.

[2] Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae" 53 (1963/1964), s. 205-224.

[3] Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. II. "Fundamenta Mathematicae" 59 (1966), s. 203-212

[4] Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.

[5] Martin, Donald A.: Borel determinacy. "Ann. of Math." (2) 102 (1975), nr 2, s. 363-371.

[6] Martin, Donald A.: A purely inductive proof of Borel determinacy. "Recursion theory (Ithaca, N.Y., 1982)", Proc. Sympos. Pure Math., 42 (1985). s. 303-308.

[7] Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 85 (1988), s. 6587-6591.

[8] Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. "J. Amer. Math. Soc." 2 (1989), s. 1, 71-125.

[9] Woodin, W. Hugh: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. "de Gruyter Series in Logic and its Applications", 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ISBN 3-11-015708-X

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Encyklopedia