Aksjomat wyboru - Google

Aksjomat wyboru

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Spis treści

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Dla każdej rodziny \mathcal{U} niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór V, do którego należy dokładnie po jednym elemencie każdego ze zbiorów z tej rodziny \mathcal{U} (zbiór taki nazywany jest selektorem).
\bigwedge_{\mathcal{U}} \Bigg[\Big(\bigwedge _{X \in \mathcal{U}} X \neq \varnothing\Big) \land \Big(\bigwedge _{X,Z \in \mathcal{U}} \big(X \neq Z \Rightarrow X \cap Z = \varnothing\big)\Big) \implies \bigvee_V \bigwedge_{X \in \mathcal{U}} \bigvee_z \big(X \cap V= \{z\}\big)\Bigg]

Przykładem innego sformułowania aksjomatu wyboru jest

iloczyn kartezjański dowolnej liczby niepustych zbiorów jest niepusty.

Elementami iloczynu kartezjańskiego \prod_{i\in I} A_i są funkcje f\colon I\to \bigcup_{i\in I}A_i spełniące f(i)\in A_i dla każdego i\in I. Aksjomat wyboru postuluje:

Jeśli \{A_i\colon i\in I\} jest rodziną zbiorów spełniącą warunek A_i\neq \varnothing dla każdego i\in I, wówczas istnieje funkcja wyboru f taka, że f(i)\in A_i dla każdego i\in I.

Równoważne aksjomatowi wyboru są także tak zwany lemat Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzenie mówiące, że każdy zbiór można dobrze uporządkować.

[edytuj] Kontrowersje

Aksjomat wyboru jest trywialny (i wynika z innych aksjomatów), jeśli zastosować go do skończonych rodzin zbiorów. W przypadku, kiedy mamy do czynienia z nieskończoną rodziną zbiorów, wydaje się również intuicyjny, lecz jego konsekwencje są zaskakujące. Na przykład Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC, udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli. Mówi ono, że w przestrzeni euklidesowej R3 można podzielić kulę na skończoną liczbę części, z których da się złożyć dwie kule o takiej samej średnicy, co kula wyjściowa.

Obecnie większość matematyków uznaje i stosuje aksjomat wyboru. Przy twierdzeniach, których dowód go wykorzystuje, przyjęło się jednak zaznaczać ten fakt.

Można również rozważać modele teorii mnogości (tzn. aksjomatów ZF), w których prawdziwa jest negacja aksjomatu wyboru.

[edytuj] SÅ‚absze formy

Czasami matematycy asekurując się przed paradoksalnymi następstwami zakładania aksjomatu wyboru, ograniczają się do jego słabszych, nierównoważnych wersji, jednak w wielu zastosowaniach wystarczających i nierzadko wygodniejszych.

Te słabsze formy są często podobne do aksjomatu wyboru i tylko ograniczają rozważane rodziny niepustych zbiorów, np. do skończonych zbiorów (ACF), albo zakładają że funkcja wyboru wybiera podzbiór każdego danego niepustego zbioru zamiast elementu. Następujące postulaty wynikają oczywiście z ZFC:

  • Zasada wyboru - SP[1]
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca każdemu, co najmniej dwuelementowemu podzbiorowi zbioru X pewien niepusty, właściwy podzbiór zbioru X.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów dajÄ…cych siÄ™ dobrze uporzÄ…dkować - ACWO
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element x\in X każdemu niepustemu podzbiorowi zbioru X dającemu się dobrze uporządkować.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów skoÅ„czonych - ACF
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden elemenet x\in X każdemu niepustemu, skończonemu podzbiorowi zbioru X.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów n-elementowych - Cn
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja wybierająca po jednym elemencie z każdego n-elementowego podzbioru zbioru X.
  • Przeliczalny aksjomat wyboru - CAC albo ACω
Dla każdej przeliczalnej rodziny zbiorów istnieje funkcja wyboru.

Inne wersje wynikają z aksjomatu wyboru, ale mają całkowicie inną formę:

  • Aksjomat liniowego uporzÄ…dkowania - OP
Każdy zbiór da się liniowo uporządkować.
  • Aksjomat podziaÅ‚u - PP
Każdy zbiór nieskończony da się podzielić na dwa nieskończone, rozłączne zbiory.

(Aksjomat ten jest bardzo słaby: na przykład nie można przy jego założeniu udowodnić, że każdy nieskończony zbiór da się podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych rozłącznych zbiorów.)

  • Zasada wyborów zależnych - PDC albo DC
Niech X będzie niepustym zbiorem, oraz R\subseteq X\times X będzie pewną relacją na X. Jeżeli
\bigwedge_{x\in X}\bigvee_{y\in X} xRy,
wówczas istnieje ciąg (xn) elementów zbioru X, że
x_0Rx_1, x_1Rx_2, x_2Rx_3, \ldots, x_nRx_{n+1}, \ldots

(Już podstawowe twierdzenia w analizie i teorii miary potrzebują założenia PDC albo przynajmniej CC (np. aby udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów miary zero). Istnienie zbiorów niemierzalnych nie wynika z aksjomatów ZF+PDC, czyli układ

ZF+PDC+"każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest mierzalny"

jest niesprzeczny.)

  • Istnienie ultrafiltrów - BPI
Na każdej algebrze Boole'a istnieje ultrafiltr.

(Ten aksjomat wystarczy aby udowodnić np. twierdzenie o zwartości, twierdzenie Hahna-Banacha, istnienie zbiorów niemierzalnych, i twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni T2.)

Prawdziwe są następujące ciągi implikacji:

AC ⇒ PDC ⇒ CAC
AC ⇒ SP ⇒ OP ⇒ ACF ⇒ ∀n Cn ⇒ Cm ⇒ PP
AC ⇒ BPI ⇒ OP
AC ⇒ ACWO ⇒ ACF

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

  1. Omar De La Cruz, Carlos Augusto Di Prisco: Weak forms of the axiom of choice and partitions of infinite sets. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. 
  2. Thomas Jech: The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973. 

Przypisy

  1. ↑ Nazwy skrótów pochodzą z języka angielskiego, odpowiednio od Selection Principle, Axiom of choice for well orderable sets, Axiom of choice for finite sets, Axiom of choice for finite sets of n elements, Countable axiom of choice, The Ordering Principle, Partition Principle, Principle of dependent choices, Boolean prime ideal theorem.

Cisco kupuje Pure Networks
We wczorajszym oświadczeniu firma Cisco Systems zapowiedziała wykupienie Pure Networks, lidera rozwiązań do zarządzania mediami w gospodarstwie domowym.
Google chce konkurować z Wikipedią?
Firma Google uruchomiła oficjalnie serwis Knol, pozwalający użytkownikom publikować materiały z różnych dziedzin opatrzone notką biograficzną autora – przeciwnie niż ma to miejsce w anonimowej Wikipedii.
Nowe płyty główne Super Micro
Super Micro zamierza wprowadzić na rynek dwa nowe modele płyt głównych, bazujących na chipsecie G45 i G43.
GeForce 9600GT od Galaxy
W japońskich sklepach pojawiła się karta graficzna GeForce 9600GT, wyposażona w procesor G94 taktowany zegarem 650 MHz oraz 512 MB pamięci GDDR3 z taktowaniem 1800 MHz.
Nowa seria wolnostojących tunerów
Urządzenie nie wymaga sterowników. Wystarczy połączyć VideoMate V200 z monitorem oraz z kablem antenowym i można oglądać programy TV na monitorze.
Linki: Strona g³ówna