Algebra Banacha

Z Wikipedii

Algebra Banacha – w analizie funkcjonalnej, unormowana algebra nad ciałem liczb zespolonych, lub rzeczywistych w której metryka dyktowana przez normę jest zupełna. Swoją nazwę zawdzięczają polskiemu matematykowi, Stefanowi Banachowi, który badał je jako pierwszy.

Spis treści

1 Algebra zespolona
2 Definicja
3 Przykłady
4 Źródła
5 Przypisy

[edytuj] Algebra zespolona

Algebrą nad ciałem liczb zespolonych ( $\mathbb C$ -algebrą albo algebrą zespoloną) nazywamy przestrzeń liniową $A$ nad ciałem liczb zespolonych z określonym mnożeniem

$A \times A \ni (x,y) \mapsto xy \in A$ ,

takim że, dla dowolnych $\alpha, \beta \in \mathbb C,\; x, y, z \in A$ spełnione są warunki:

(α x + β y) z = α x z + β y z

,

x (α y + β z) = α x y + β x z

,

x (y z) = (x y) z

.

Jeżeli dodatkowo działanie to jest przemienne, tj. $x y = y x$ dla dowolnych $x,y\in A$ , to $A$ nazywamy algebrą przemienną. Algebra zespolona może nie mieć jedynki. Skrajnym przykładem jest dowolna przestrzeń liniowa $A$ z mnożeniem określonym wzorem $x y = 0$ dla dowolnych $x, y \in A$ ^[1].

[edytuj] Definicja

Algebrę zespoloną $A$ nazywamy unormowaną, jeśli $(A, \|\cdot\|)$ jest przestrzenią unormowaną, której norma jest podmultyplikatywna, tj. dla dowolnych $x, y\in A$ :

$\|xy\| \leqslant \|x\| \|y\|$ .

Jeżeli ponadto norma ta jest zupełna, tj. metryka przez nią dyktowana jest zupełna, to $A$ nazywamy algebrą Banacha.

[edytuj] Przykłady

Niech $E$ będzie przestrzenią Banacha i niech $B (E)$ oznacza algebrę wszystkich ograniczonych operatorów przestrzeni $E$ ze składnianiem, jako działaniem mnożenia. $E$ jest algebrą Banacha z jedynką oraz $\|\mathbf 1\| = 1$ .
Niech $X$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech $\mathcal C(X)$ oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych $X \to \mathbb C$ z działaniami dodawania i mnożenia określonymi punktowo, tj. dla dowolnych funkcji $f, g \in \mathcal C(X)$ zachodzi

$(f + g)(x) = f(x) + g(x),\; x \in X$ ,

$(fg)(x) = f(x) g(x),\; x \in X$ ,

z normą supremum. $\mathcal C(X)$ jest algebrą Banacha z jedynką.

Niech $L^1(\mathbb R)$ oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a na prostej z działaniem mnożenia, określonym przez splot, tj.

$(f * g)(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt,\; f,g\in \mathcal L(\mathbb R)$ .

Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, że istnieje ciąg funkcji ortonormalnych $\{e_n\colon\; n\in\mathbb N\} \subset L^1(\mathbb R)$ spełniających warunek:

$\lim_{n \to \infty}~\|e_n * f - f\| = \lim_{n\to\infty}~\|f * e_n - f\| = 0$ .
Przykładem skończeniewymiarowej^[2] algebry Banacha jest przestrzeń macierzy $\mathbb C^n_n$ z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i normą np. daną wzorem

$\|(a_{ij})\|=\sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|$ .
Kwaterniony tworzą 4-wymiarową algebrę Banacha z normą daną przez ich moduł.
Każda C*-algebra jest algebrą Banacha.
Niech $G$ będzie lokalnie zwartą, hausdorffowską grupą topologiczną oraz $μ$ określoną na niej miarą Haara. Przestrzeń $L 1 (G)$ funkcji $μ$ -całkowalnych na $G$ z działaniem mnożenia, określonym jak niżej, jest algebrą Banacha.

$(xy)(g) = \int\limits_G x(h) y(h^{-1}g) d\mu(h)$ dla $x, y \in L^1(G)$ .

[edytuj] Źródła

William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.

Przypisy

↑ Jeśli $A$ jest przestrzenią Banacha, to $A$ jest przykładem algebry Banacha, w której jedynka nie może być aproksymowana (por. Przykład 3).
↑ w sensie wymiaru przestrzeni unormowanej

AIDS nadal zbiera żniwo

Na świecie żyją ponad 33 miliony osób zarażonych wirusem HIV - wynika z ostatniego raportu ONZ na temat epidemii HIV i AIDS na świecie. Szacuje się, że od czasu odkrycia wirusa przez tegorocznych noblistów, na AIDS zmarło 25 milionów ludzi.

Elvis żyje! I przechodzi kontrolę paszportową

Elvis żyje. Przynajmniej według najnowszego systemu kontroli paszportowej, co udowodnił holenderski haker. Spreparowany przez niego e-paszport na nazwisko Króla został zaakceptowany przez system amsterdamskiego lotniska. Dopiero później alarm podnieśli politycy.

Czy pokojowa Nagroda Nobla podzieli Zachód z Chinami?

Pokojowa Nagroda Nobla może wywołać spięcie na linii Zachód-Chiny. Tym razem bowiem - w 60. rocznicę uchwalenia Powszechnej Deklaracji Praw Człowieka - najpoważniejszymi kandydatami do nagrody są dwaj chińscy dysydenci: Gao Zhisheng i Hu Jia.

Zamach bombowy w domu opozycjonisty

Co najmniej 12 osób zginęło, a opozycyjny deputowany Rashid Akbar Khan Nawani jest ranny, po tym jak zamachowiec-samobójca zdetonował ładunek wybuchowy na dziedzińcu domu parlamentarzysty w środkowym Pakistanie - poinformowała policja.

Chcą jawnego procesu zabójców Politkowskiej

Centroprawicowa "Nowaja Gazieta" zażądała przeprowadzenia procesu zabójców jej dziennikarki Anny Politkowskiej w trybie jawnym. We wtorek mija druga rocznica śmierci dziennikarki, znanej ze swych krytycznych wobec polityki Kremla artykułów.

Linki: Strona g��wna

[0] Jeśli $A$ jest przestrzenią Banacha, to $A$ jest przykładem algebry Banacha, w której jedynka nie może być aproksymowana (por. Przykład 3).

[1] w sensie wymiaru przestrzeni unormowanej

[1]

[2]

Encyklopedia