Algorytm sympleksowy

Z Wikipedii

Algorytm sympleksowy, inaczej metoda sympleks(ów) to stosowana w matematyce iteracyjna metoda rozwiązywania zadań programowania liniowego za pomocą kolejnego polepszania (optymalizacji) rozwiązania. Nazwa metody pochodzi od sympleksu, figury wypukłej będącej uogólnieniem trójkąta na więcej wymiarów.

[edytuj] Opis metody

Wielościan algorytmu sympleksowego w trzech wymiarach

Zadanie programowania liniowego z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać, wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu, a następnie porównując wartości funkcji w punktach wierzchołkowych. W związku z wielością punktów powstaje problem wyznaczenia wartości funkcji celu i znalezienie optymalnego wierzchołka, który spełniłby warunek zadania programowania liniowego. Istota metody sympleks sprowadza się do tego, że jeżeli jest znany jakikolwiek wierzchołkowy punkt i wartość w tym punkcie funkcji celowej, to wtedy wszystkie wierzchołkowe punkty, w których celowa funkcja przyjmuje gorsze wartości, są odrzucane. Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w którym celowa funkcja osiąga lepsze wartości. Iteracja kończy się, gdy kolejny przeglądany punkt wierzchołkowy jest najlepszy pod względem odpowiednich wartości funkcji celowej.

W metodzie sympleks dla układu równań A^kx=b_k w postaci kanonicznej istnieje tablica sympleksowa Y^k o wymiarach (m+1)x(n+1) w postaci:

$Y_{k}=\left[ \frac{A_{k} | b^{k}}{-(c^{-k})^{T}) | z_{0}^{k}} \right]$

[edytuj] Kroki algorytmu

Dla wykonania algorytmu sympleks należy wykonać kroki:

Podstawiamy k=0
Sprawdzamy kryteria stopu dla j=1,...,n:

$y_{m+1,j}^{k}=-c_{j}^{-k} \leq 0$

Jeśli kryterium nie jest spełnione, to:
Wyznaczamy indeksy s macierzy A dla kolumny wprowadzanej do bazy dla j z przedziału 1-n:

$y_{m+1,s}^{k}=max [y_{m+1,j}^{k}]$
Sprawdzamy kryterium nieograniczoności: dla i=1,...,m

$y_{i,s}^{k} \leq 0$

Jeśli kryterium nie jest spełnione, to:
Wyznaczamy indeks r dla kolumny macierzy B, która jest usuwana z bazy

$\frac{y_{r,n+1}^{k}}{y_{r,s}^{k}}=min \left[ \frac{y_{r,n+1}^{k}}{y_{r,s}^{k}} : y_{i,s}^{k} >0 \right]$
Dokonujemy zmiany zastępując r-tą współrzędną wektora x_B przez współrzędną x_s i wyznaczamy nową tablicę sympleksową Y_k+1
Podstawiamy k=k+1 i kontynuujemy od kroku (2)

Inaczej, mając układ równań dokonujemy przekształceń:

Jeśli rozwiązanie podstawowe układu jest nieprawidłowe, wybieramy jedną z nieprawidłowych zmiennych.

Wybieramy jedną ze zmiennych po prawej stronie mającą dodatni współczynnik. Jeśli takowej by nie było, np.:

x 5 = - 2 - x 1 - x 3

To układ nie ma żadnego rozwiązania, w którym lewostronna zmienna jest nieujemna.

Rozwiązujemy równania ze względu na wybraną zmienną po prawej stronie.

$x_L = -\alpha + c_R x_R + \sum_{i=1}^n c_{j} x_j$

$x_R = \frac {\alpha} {c_R} + \frac 1 {c_R} x_L - \sum_{i=1}^n \frac {c_{j}}{c_R} x_j$

Podstawiamy za wszystkie wystąpienia x_R w pozostałych równaniach oraz w definicji funkcji bazowej, prawą stronę nowego równania.

Ponieważ $\frac {\alpha} {c_R}$ jest dodatnie, tak przekształcone równanie nie łamie warunku nieujemności. Podstawienie pod c_R prawej strony równania również nie uczyni żadnego z poprawnych równań niepoprawnym.

Jeśli rozwiązanie bazowe jest prawidłowe, sprawdzamy postać funkcji celu. Jeśli wszystkie współczynniki przy zmiennych występujące w niej są niedodatnie, przyjęcie zera za ich wartości da rozwiązanie optymalne.

Jeśli współczynnik a_i przy zmiennej x_i w funkcji celu jest dodatni, wybieramy jedno z równań i rozwiązujemy je ze względu na x_i po czym postępujemy jako wyżej (na wybór zmiennej oraz równania do rozwiązania muszą być nałożone pewne ograniczenia, jeśli chcemy mieć gwarancję, że algorytm kiedyś się skończy).

[edytuj] Tabela sympleksowa

Tworzymy tablicę sympleksową w postaci:

**tabela sympleks**
	x₀	...	x_j	...	x_k
x₀	z₀₀	...	y_0j	...	y_0k
x_B1	z₁₀	...	y_1j	...	y_0k
...	...	...	...	...	...
x_Br	z_r0	...	y_rj	...	y_rk
...	...	...	...	...	...
x_Bm	z_m0	...	y_mj	...	y_mk

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

COIN-OR- Biblioteka Open Source dla programowania liniowego
GLPK dla win32 – program i biblioteka dla programowania liniowego
GLPK dla Linuksa – program i biblioteka dla programowania liniowego
Cplex – Komercyjna biblioteka dla programowania liniowego
FAQ – programowanie liniowe
Simplex Algorithm by Elmer G. Wiens. Demonstrates algorithm in detail, using the simplex tableau.

Noga z RPP: dalsze podwyżki stóp mało prawdopodobne

W tej chwili prawdopodobieństwo dalszych podwyżek stóp procentowych jest niewielkie. Obniżka stóp procentowych w 2009 roku nie jest wykluczona - powiedział Marian Noga, członek Rady Polityki Pieniężnej w TVN CNBC.

Japonia może jako pierwsza z krajów G7 wyjść z globalnego spowolnienia

Japonia może być pierwszym krajem z grupy G7, w którym będzie ożywienie w gospodarce po globalnym spowolnieniu - oceniają ekonomiści Capital Economics Ltd.

Ropa nadal mocno drożeje, bo rządy pomagają bankom

We wtorek ropa naftowa nadal mocno drożeje, drugą sesję z rzędu, w reakcji na działania podejmowane przez rządy na świecie, by pomóc sektorowi bankowemu - podają maklerzy.

Cena miedzi wzrosła na giełdzie w Londynie

Cena miedzi rośnie na giełdzie w Londynie, zmierzając ku największemu dwudniowemu wzrostowi od co najmniej 1986 roku. Ropa również rośnie przewodząc wzrostom cen surowców, ponieważ ceny akcji mocno zwyżkowały, po tym jak rządy różnych krajów na świecie zgodziły się pomóc bankom i zasilić system finansowy.

Prezydent złożył projekt ws. przedłużenia przepisów dot. wcześniejszych emerytur

Prezydent Lech Kaczyński złożył w Sejmie projekt przedłużający o rok - do 31 grudnia 2009 roku - obowiązywanie dotychczasowych przepisów regulujących zasady przechodzenia na wcześniejszą emeryturę.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia