Alternatywa Fredholma - Google

Alternatywa Fredholma

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Alternatywa Fredholma - twierdzenie analizy funkcjonalnej dotyczące operatorów zwartych na przestrzeni Hilberta. Alternatywa Fredholma odgrywa szczególną rolę przy badaniu istnienia i jednoznaczności rozwiązań pewnych równań całkowych.

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

Niech H będzie przestrzenią Hilberta oraz K\colon H\to H będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli K jest operatorem zwartym, to

  1. wymiar jądra operatora I − K jest skończony,
  2. obraz operatora I − K jest domknięty,
  3. \mathrm{im}(I-K)=\ker(I-K^\star)^\perp,
  4. \ker(I-K)=\{0\} \iff \mathrm{im}(I-K)=H,
  5. \dim(\ker(I-K))=\dim(\ker(I-K^\star)).

W powyższym twierdzeniu symbole \ker i im oznaczają, odpowiednio, jądro i obraz operatora, a I operator identycznościowy, tzn. Ix = x dla wszystkich x\in H. Dowód alternatywy Fredholma opiera się o twierdzenie o rzucie ortogonalnym oraz twierdzenie Schaudera, mówiące, że jeśli operator liniowy i ciągły jest zwarty, to operator z nim sprzężony jest również zwarty. Bezpośrednim wnioskiem z powyższego twierdzenia jest "klasyczna" postać alternatywy Fredholma:

[edytuj] Wniosek

Jeśli operator liniowy i ciągły K\colon H\to H jest zwarty, to

  • równanie niejednorodne u − Ku = f ma dla każdego f\in H dokÅ‚adnie jedno rozwiÄ…zanie u\in H

albo

  • równanie jednorodne u − Ku = 0 ma niezerowe rozwiÄ…zanie u\in H.

Z punktu 4. wynika iż oba te warunki nie mogą zachodzić równocześnie. Ponadto równanie niejednorodne ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy f\in \ker(I-K^\star)^\perp, natomiast przestrzeń rozwiązań równania jednorodnego ma skończony wymiar.

[edytuj] Bibliografia

  1. L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2

[edytuj] Zobacz też


Trzecie Internetowe Mistrzostwa Polski w Programowaniu
Wczoraj, w restauracji Villa Foksal w Warszawie odbyło się uroczyste ogłoszenie wyników III Internetowych Mistrzostw Polski w Programowaniu.
Windows 7 Beta dostępny już dla wszystkich
Już dzisiaj Microsoft oficjalnie udostępni pierwszą publiczną wersję beta systemu operacyjnego Windows 7. Do tej pory cieszyć się nią mogli tylko klienci MSDN, TechBeta i TechNet.
Nowe funkcje w Skype najpierw dla Mac OS
Skype pozwala użytkownikom komputerów z systemem Mac OS X na korzystanie z bezprzewodowego dostępu do Internetu za pomocą hotspotów sieci Boingo Wireless oraz dzielenie ekranu.
Plany turystyczne internautów
Firma badawcza Gemius SA zbadała zwyczaje oraz plany wyjazdowe polskich internautów. Najważniejsze wnioski z badania zostały zebrane w raporcie "Turystyka wśród internautów".
Rusza największa impreza w świecie elektroniki
Podczas targów CES 2009 w Las Vegas zadebiutują produkty, które znajdą się na półkach w 2009 roku.
Linki: Strona g³ówna