Analiza funkcjonalna
Z Wikipedii
Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi.
Słowo funkcjonał pochodzi z rachunku wariacyjnego, gdzie oznacza funkcję, której argument jest funkcją (ale wartość jest liczbą). Prawdopodobnie, od słowa "funkcjonał" pochodzi nazwa "analiza funkcjonalna", chociaż w niej bada się także bardziej ogólne operatory, których zarówno argumenty jak i wartości są wektorami (to znaczy wartość może nie być liczbą). Uogólnieniem analizy funkcjonalnej jest teoria operatorów gdzie argumentami operatora mogą być dowolne obiekty matematyczne (to znaczy nie koniecznie wektory).
Upowszechnienie analizy funkcjonalnej zawdzięcza się matematykowi i fizykowi Vito Volterze, a stworzenie jej podstaw przypisuje się Stefanowi Banachowi, aczkolwiek część wyników uzyskał niezależnie na początku drugiej połowy XIX wieku węgierski matematyk József Szoboszló, jego prace zaginęły jednak podczas rewizji żandarmerii cesarskiej i odkryto je dopiero w latach 90. XX wieku.[potrzebne źródło]
[edytuj] Przestrzenie badane w analizie funkcjonalnej
W ogólności analiza funkcjonalna zajmuje się również badaniem przestrzeni Frécheta i innych przestrzeni liniowo-topologicznych. Podstawowymi przestrzeniami badanymi w analizie funkcjonalnej są jednak unormowane zupełne przestrzenie liniowe nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Takie przestrzenie noszą nazwę przestrzeni Banacha.
Przykładami przestrzeni Banacha są przestrzenie Hilberta, w których norma pochodzi od iloczynu skalarnego. Przestrzenie Hilberta mają podstawowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej.
Typowe przestrzeni liniowe badane w analizie funkcjonalnej są głównie nieskończeniewymiarowymi, ponieważ skończeniewymiarowe przestrzeni są badane w algebrze liniowej. Dlatego można powedzieć że analiza funkcjonalna jest uogólnieniem algebry liniowej. Często wektory tych przestrzeni liniowych nieskończeniewymiarowych są funkcjami; analiza funkcjonalna rozwija się głównie wychodząc z problemów dotyczących funkcji, ale jest bardzo abstrakcyjnej i dlatego bada nie tylko przestrzeni funkcjonalne.
Ważnym obiektem badań analizy funkcjonalnej są ciągłe przekształcenia (funkcjonały) liniowe na przestrzeniach Banacha i Hilberta. Badania własności przestrzeni takich funkcjonałów doprowadziły do sformułowania pojęć C*-algebr i innych algebr operatorów.
[edytuj] Najważniejsze wyniki
Poniżej są wymienione główne i podstawowe wyniki z dziedziny analizy funkcjonalnej.
- Twierdzenie Banacha-Steinhausa (znane również jako zasada jednostajnej ograniczoności) dotyczy ograniczonych zbiorów operatorów.
- Twierdzenie spektralne podaje reprezentację operatorów samosprzężonych na przestrzeni Hilberta poprzez całki względem specjalnych miar spektralnych. Ma ono centralne znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej.
- Twierdzenie Hahna-Banacha mówi o rozszerzaniu funkcjonałów z podprzestrzeni na całą przestrzeń, z zachowaniem normy. Jednym z wniosków jest nietrywialność chprzestrzeni dualnych.
- Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym oraz twierdzenie o wykresie domkniętym.
[edytuj] Zobacz też
| Botnet do wynajęcia |
|
Internetowi przestępcy, którzy nie posiadają wystarczających umiejętności, mogą wykupić usługę ułatwiającą ich działalność. W jej skład wchodzą: serwer z wbudowanym panelem umożliwiającym zarządzanie koniem trojańskim Zeus oraz narzędziami mogącymi służyć do infekowania komputerów i stworzenia własnego botnetu.
|
| Adobe przetestuje nowego Flash Player'a |
|
Serwis CNet News poinformował, że firma Adobe planuje w czwartek rozpoczęcie testów nowej wersji odtwarzacza Flash Player o nazwie kodowej Astro. Aplikacja oznaczona numerem 10 udostępni m.in.: lepsze wsparcie dla animacji 3D oraz sprzętowe wsparcie wideo.
|
| Firmy nie chcą zmieniać XP na Vistę |
|
General Motors to ostatni duży klient biznesowy, który rozważa odrzucenie systemu Windows Vista. Firma poczeka na Windows 7.
|
| Kamizelka na notebooka |
|
Built zaproponował wodoodporny plecak na notebooka, który wyglądem przypomina kamizelkę. Produkt wykonany jest z neoprenu, czyli kauczuku syntetycznego.
|
| Nagrywaj, przegrywaj, zapisuj…. |
|
Nagrywarka DVD marki Funai oznaczona symbolem H4D-D4482DB została ona wzbogacona o 250 GB twardy dysk i kompletny zestaw cyfrowych łączy.
|