Centralizator i normalizator

Z Wikipedii

Centralizator (centrum), normalizator – w teorii grup specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Spis treści

1 Centralizator
- 1.1 Centrum
  - 1.1.1 Twierdzenie Schura
2 Normalizator
- 2.1 Działanie grupy na zbiorze
3 Oznaczenia
4 Własności
- 4.1 Uwagi
5 Bibliografia
6 Przypisy
7 Zobacz też

[edytuj] Centralizator

Niech $x \in G$ . Centralizatorem elementu $x$ nazywamy podgrupę

$C_G(x)=\{g \in G: gx = xg\}$ .

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru $G$ , nie koniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru $H \subset G$ nazywamy grupę

$C(H) = \{g \in G: \forall_{h \in H}\; gh = hg\}$ .

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru $H$ .

[edytuj] Centrum

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

Z (G) = C G (G)

.

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy $G$ , mamy zatem $Z(G) = \{x \in G: xg=gx \quad \forall_{g\in G}\}$ .

Stąd o centralizatorze elementu $x$ można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie $H \le G$ zawierającej $x$ w swoim centrum, $Z (H)$ .

Indeks grupy względem centrum $(G : Z (G))$ można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy - im mniejsza to liczba, tym więcej elemenetów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia, $Z (R)$ .

[edytuj] Twierdzenie Schura

Jeśli $(G:Z(G))<\infty$ , to $|[G,G]|<\infty$ .

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w ^[1].

[edytuj] Normalizator

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru $H \subset G$ .

Normalizatorem $H$ w $G$ jest podgrupa

$N_G(H) = \{g \in G : gH = Hg\} \le G$ .

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli $H \le G$ , to $N G (H)$ jest największą podgrupą $G$ mającą $H$ jako swoją podgrupę normalną.

[edytuj] Działanie grupy na zbiorze

Niech $H \le G$ będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy $\varphi: G \to \Sigma_{G/H}$ grupy $G$ na zbiorze warstw $G / H$ zadane wzorem $\varphi_g(aH) = gaH$ . Wówczas $\ker \varphi = \bigcap_{g \in G}\; gHg^{-1} \le H$ jest podgrupą normalną $G$ . Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w $H$ .

Jeśli $H \triangleleft G$ , to $H = \ker \varphi$

[edytuj] Oznaczenia

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie $G$ mamy więc $C(H) \equiv C_G(H)$ oraz $N(H) \equiv N_G(H)$ dla dowolnego zbioru $H \subset G$ .

[edytuj] Własności

Niech $G, G 1, G 2$ będą grupami, $H \subset G$ :

Niech . , co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a i b komutują ze sobą.
- Jeśli $G = {a}$ , to $N (S) = C (S) = C (a)$ .
Jeśli G jest abelowa, to C(H) = G oraz N(H) = G,
- grupa $G$ jest abelowa $\iff Z(G) = G$ .
C(H) jest zawsze podgrupą normalną N(H),
- $Z (G)$ jest podgrupą normalną $G$ .
$Z(G_1\times G_2)=Z(G_1)\times Z(G_2)$
Jeśli grupa ilorazowa $G / Z (G)$ jest cykliczna, to $G$ jest abelowa.
Jeśli $G$ jest grupą nieabelową, to jej indeks względem $Z (G)$ jest większy od $3$ .
Jeśli $X\neq\varnothing$ , to $Z (G X) = (Z (G)) X$ .

[edytuj] Uwagi

Jeżeli $H \leqslant G$ , wtedy grupa ilorazowa $N (H) / C (H)$ jest izomorficzna z podgrupą $\operatorname{Aut}(H)$ , grupą automorfizmów $H$ .

Jeżeli $N G (G) = G$ , to $G / Z (G)$ jest izomorficzna z $\operatorname{Inn}(G)$ , podgrupą $\operatorname{Aut}(G)$ zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy $G$ .

Jeżeli $H \subset G$ , to homomorfizm $\varphi\colon G \to \operatorname{Inn}(G)$ taki, że $\varphi(x)(g) = \varphi_x(g) = xgx^{-1}$ , pozwala na opisanie $N (H)$ oraz $C (H)$ w terminach działania grupy $\operatorname{Inn}(G)$ na grupie $G$ :

$\varphi(N(H))$ jest stabilizatorem $H$ w $\operatorname{Inn}(G)$ ,
$\varphi(C(H)) \leqslant \operatorname{Inn}(G)$ jest podgrupą punktów stałych $H$ .

[edytuj] Bibliografia

A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4

Przypisy

↑ Herrn Huppert: Endliche Gruppen, I. Springer Verlag, 1967.

[edytuj] Zobacz też

Soczewki kontaktowe z elektroniką

Opracowano prototyp nowoczesnych soczewek kontaktowych, w których wnętrzu zatopiony jest układ elektroniczny oraz diody LED. Jest to przysłowiowy "kamień milowy" dla dziedziny nauki, która zajmuje się miniaturyzacją układów scalonych, donosi "LaserFocusWorld".

Groźny detoks

Pewna Brytyjka doznała uszkodzeń mózgu po poddaniu się tzw. diecie "detoks", która wymagała picia dużych ilości płynów.

Pod lodami Arktyki 90 mld baryłek ropy

90 mld baryłek ropy i ilość gazu równa całym znanym jego zasobom w Rosji - na tyle oceniają amerykańscy eksperci rządowi zasoby Arktyki. Ich szacunki opisał w czwartek "Financial Times".

Twoje piersi tego nie lubią!

Kobiety, które noszą źle dobrane biustonosze, niszczą sobie piersi - alarmują naukowcy.

Odkryto "pogromcę plemników"

Mężczyźni, którzy codziennie spożywają produkty sojowe produkują mniej plemników, niż mężczyźni, którzy nie jedzą ich wcale - informuje pismo "Human Reproduction".

Linki: Strona g��wna

[0] Herrn Huppert: Endliche Gruppen, I. Springer Verlag, 1967.

[1]

Encyklopedia