Diagram Cichonia - Google

Diagram Cichonia

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Diagram Cichonia to pojęcie w teorii mnogości, oznaczające tablicę utworzoną przez dziesięć liczb kardynalnych, związanych ze strukturą ideałów zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero na prostej rzeczywistej, oraz ze strukturą przestrzeni Baire'a {\mathbb N}^{\mathbb N} (tzn przestrzeni wszystkich ciągów liczb naturalnych).

Spis treści

[edytuj] Definicje

Niech I bÄ™dzie ideaÅ‚em podzbiorów X, który zawiera wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideaÅ‚u I nastÄ™pujÄ…co :

  • {\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|: {\mathcal A}\subseteq I \wedge \bigcup{\mathcal A}\notin I\big\}.
(Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nie należący do ideału?")
  • {\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subseteq I \wedge\bigcup{\mathcal A}=X\big\}.
(cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?")
  • {\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge\ A\notin I\big\},
(non(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile elementów ma najmnieszy zbiór nie należący do I?")
  • {\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal B})(A\subseteq B)\big\}.

Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):

  • {\mathfrak b}=\min\big\{|F|:F\subseteq{\mathbb N}^{\mathbb N}\ \wedge\ (\forall g\in {\mathbb N}^{\mathbb N})(\exists f\in F)(\exists^\infty n\in{\mathbb N})(g(n)<f(n))\big\},
  • {\mathfrak d}=\min\big\{|F|:F\subseteq{\mathbb N}^{\mathbb N}\ \wedge\ (\forall g\in{\mathbb N}^{\mathbb N})(\exists f\in F)(\forall^\infty n\in{\mathbb N})(g(n)<f(n))\big\},

gdzie "\exists^\infty n\in{\mathbb N}" oznacza "istnieje nieskończenie wiele takich n\in{\mathbb N}, że" oraz "\forall^\infty n\in{\mathbb N}" oznacza "dla wszystkich, oprócz skończenie wielu n\in{\mathbb N} mamy, że".

[edytuj] Diagram

Niech {\mathcal K} będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii, oraz niech {\mathcal L} oznacza σ-ideał zbiorów miary zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka "\longrightarrow" zastępuje znak nierówności "\leq":


{\rm cov}({\mathcal L}) \longrightarrow {\rm non}({\mathcal K}) \longrightarrow {\rm cof}({\mathcal K}) \longrightarrow {\rm cof}({\mathcal L}) \longrightarrow 2^{\aleph_0}
\Bigg\uparrow \uparrow \uparrow \Bigg\uparrow
{\mathfrak b} \longrightarrow {\mathfrak d}
\uparrow \uparrow
\aleph_1 \longrightarrow {\rm add}({\mathcal L}) \longrightarrow {\rm add}({\mathcal K}) \longrightarrow {\rm cov}({\mathcal K}) \longrightarrow {\rm non}({\mathcal L})



Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:

{\rm add}({\mathcal K})=\min\{{\rm cov}({\mathcal K}),{\mathfrak b}\} oraz {\rm cof}({\mathcal K})=\min\{{\rm non}({\mathcal K}),{\mathfrak d}\}.

Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości \aleph_1 i \aleph_2 w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z ZFC. Aksjomat Martina implikuje że {\rm add}({\mathcal L})=2^{\aleph_0} (a więc i pozostałe współczynniki są równe 2^{\aleph_0}), CH oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe \aleph_1.

[edytuj] Uwagi

Nazwa diagramu była wprowadzona przez brytyjskiego matematyka Dawida Fremlina[1] dla uhonorowania wkładu wrocławskiego matematyka Jacka Cichonia i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin jest przedstawiony w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha [2]

Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne i mówią o strukturze miary i kategorii więcej niż wynika to z nierównowności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego są też rozważane wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości[3] oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów "małych"[4].

[edytuj] Bibliografia

  1. ↑ Fremlin, David H.: Cichon's diagram, "Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie" 66, Sémin. Initiation Anal. 23ème Année-1983/84, Exp. No.5, 13 p. (1984). Zbl 0559.03029
  2. ↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line.A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp. ISBN 1-56881-044-X
  3. ↑ Pawlikowski, Janusz: Why Solovay real produces Cohen real, "J. Symbolic Logic" 51 (1986), s. 957-968.
  4. ↑ Pawlikowski, Janusz; Recław, Ireneusz: Parametrized Cichoń's diagram and small sets, "Fundamenta Mathematicae" 147 (1995), s. 135-155.

Unikalny cmentarz ugrofiński
Archeolodzy odkryli w okolicach miasta Suzdal w Rosji unikalne miejsce pochówku członków plemienia Ugrofinów, pochodzące z początków I tysiąclecia n.e. - donosi serwis internetowy icRussia.
Soczewki kontaktowe z elektronikÄ…
Opracowano prototyp nowoczesnych soczewek kontaktowych, w których wnętrzu zatopiony jest układ elektroniczny oraz diody LED. Jest to przysłowiowy "kamień milowy" dla dziedziny nauki, która zajmuje się miniaturyzacją układów scalonych, donosi "LaserFocusWorld".
Groźny detoks
Pewna Brytyjka doznała uszkodzeń mózgu po poddaniu się tzw. diecie "detoks", która wymagała picia dużych ilości płynów.
Pod lodami Arktyki 90 mld baryłek ropy
90 mld baryłek ropy i ilość gazu równa całym znanym jego zasobom w Rosji - na tyle oceniają amerykańscy eksperci rządowi zasoby Arktyki. Ich szacunki opisał w czwartek "Financial Times".
Twoje piersi tego nie lubiÄ…!
Kobiety, które noszą źle dobrane biustonosze, niszczą sobie piersi - alarmują naukowcy.
Linki: Strona g³ówna