Ruch harmoniczny

Z Wikipedii

Ruch harmoniczny - drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, również wiele rodzajów bardziej złożonych drgań może być opisane jako w przybliżeniu harmoniczne. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera.

Spis treści

1 Ruch harmoniczny prosty
- 1.1 Energia w ruchu harmonicznym prostym
2 Ruch harmoniczny tłumiony
3 Przybliżanie innych rodzajów ruchu przez drgania harmoniczne
4 Przykłady ruchów harmonicznych
5 Zobacz też

[edytuj] Ruch harmoniczny prosty

Ruch harmoniczny punktu

Ruch harmoniczny ciała na sprężynie

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

$\vec{F}= -k\vec{x}$

gdzie

$\vec{F}$ - siła,

k

- współczynnik proporcjonalności,

$\vec{x}$ - wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

$a = -\frac{k}{m} x$

albo w postaci różniczkowej:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:

$x(t)= A \sin(\omega_0 t) +B \cos(\omega_0 t) \,$
$x(t)= C \sin(\omega_0 t+\varphi)$
$x(t)= D \cos(\omega_0 t+\varphi')$

gdzie:

$\omega_0 =\sqrt{ \frac k m}$ jest częstością kołową drgań,
$A,B,C,\varphi,D,\varphi'$ stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową $ω 0$ wiąże z okresem drgań $T$ związek:

$T=\frac{2\pi}{\omega_0}$ ,

częstotliwość drgań $ν$ natomiast wynosi

$\nu=\frac{\omega_0}{2\pi}.$

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

[edytuj] Energia w ruchu harmonicznym prostym

Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia.

$E_{p}(t)=\frac{1}{2}kx^{2}(t)$

Wykres zależności energii od wychylenia

Z zasady zachowania energii, wynika zależność, z której można wyznaczyć energię kinetyczną:

$E_{k}(t) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2}(t) - \frac{1}{2}kx^{2}(t)$

$E_{k}(t) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2}(1-\sin^{2}(\omega t))$

$E_{k}(t) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2}\cos^{2}(\omega t)$

Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i porównania współczynników we wzorze $E_{k}=\frac{1}{2} mv^{2}$ z powyższym):

Ciało drgające ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:

$v 0 = x 0 ω 0$

prędkość chwilowa zmienia się jak

$v(t) = \left. x_{0}\omega_{0} \cos(\omega_{0} t + \phi)\right.$

Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że przyspieszenie jest opisywane zależnością:

$a(t) = \left.- x_{0}\omega_{0}^{2} \sin(\omega_{0} t + \phi)\right.$

[edytuj] Ruch harmoniczny tłumiony

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

$\vec{F}_{op} = -b \vec{v}$

Równanie ruchu ma wtedy postać:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x - \frac{b}{m}\frac{dx}{dt}$

Równanie to ma dwie klasy rozwiązań:

[edytuj] Oscylator przetłumiony

Gdy:

$\omega_{0} \leq b$

odpowiada to tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu - w tej sytuacji nie występuje ruch wahadłowy, a jedynie eksponencjalny zanik wychylenia z czasem.

[edytuj] Oscylator drgający

Gdy

$\omega_{0} > b\,$

Analogicznie jak dla ruchu harmonicznego prostego rozwiązanie można przedstawić za pomocą kilku wzorów ze składową okresowa, ale z dodatkowym czynnikiem tłumiącym:

Położenie w ruchu harmonicznym nietłumionym (zielony), tłumionym (czerwony), obwiednia ruchu tłumionego (czarny).

$x_{3}(t) = A \sin(\omega t + \phi) e^{-\frac{t}{2\tau}} = A \sin(\omega t + \phi) e^{-\beta t}$

$x_{4}(t) = B \cos(\omega t + \phi) e^{-\frac{t}{2\tau}} = B \cos(\omega t + \phi) e^{-\beta t}$

gdzie

$\beta = \frac{b}{m}$

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2} - \frac{1}{4\tau^{2}}$ - jest zmodyfikowaną częstością kątową

$\tau = \frac{1}{2\beta} = \frac{1}{2}\frac{m}{b}$ - czas relaksacji - czas, po jakim amplituda drgań spada e-krotnie.

Ostatecznie otrzymujemy analogiczny wzór:

$x(t) = \left.x_{0} \sin (\omega t + \phi) e^{-\beta t} \right.$

[edytuj] Diagramy fazowe

Wykres fazowy (położenie - prędkość) ruchu harmonicznego

Na wykresie fazowym obok znajdują się krzywe fazowe - dla ruchu harmonicznego prostego (zielony) i ruchu harmonicznego tłumionego (czerwony).

Parametry ruchów:

$ω$ = 1,0
$β$ = 0,2
$x 0$ = 1,0
$v 0$ = 1,0

[edytuj] Przybliżanie innych rodzajów ruchu przez drgania harmoniczne

Przybliżenie za pomocą prostego ruchu harmonicznego stosuje się np. do opisu małych drgań wahadła matematycznego.

Ogólniej, załóżmy, że ciało znajduje się w położeniu $x r$ równowagi trwałej; innymi słowy w punkcie $x r$ energia potencjalna tego ciała przyjmuje wartość minimalną $E (x r)$ . Jeżeli funkcja E(x) posiada rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu $x r$ , otrzymujemy:

$E(x_{r}+h) = E(x_{r}) + \left . \frac{dE}{dx} \right |_{x = x_{r}} \cdot h + \left . \frac{1}{2} \frac{d^{2}E}{dx^{2}} \right |_{x = x_{r}} \cdot h^{2} + ...$

Dla dostatecznie małych h można pominąć wyrazy z h do potęgi większej niż 2. Wyraz z h się zeruje (warunek konieczny występowania minimum), pozostaje równanie postaci:

$E(x) = E + kx^{2}\,$

Można obliczyć siłę dla takiej energii potencjalnej jako ujemny gradient potencjału (energii potencjalnej).

$F(x) = - \frac{dE(x)}{dx} = -kx$

Wniosek: Pod warunkiem, że dla danego ruchu funkcja energii E(x) jest funkcją dość regularną (tzn. posiada rozwinięcie w szereg Taylora, co w praktyce oznacza, że posiada ciągłą pierwszą i drugą pochodną w pewnym otoczeniu punktu równowagi) to dla niewielkich wychyleń z położenia równowagi ruch ten możemy opisywać z dobrym przybliżeniem jako drgania harmoniczne.

[edytuj] Przykłady ruchów harmonicznych

[edytuj] Zobacz też

Rezonans

El. MŚ: bez bramek w Sztokholmie

Szwecja zremisowała w Sztokholmie z Portugalią 0:0 w meczu grupy 1. eliminacji piłkarskich mistrzostw świata.

El. MŚ: zwycięstwo Węgrów

Piłkarze Węgier odnieśli pierwsze zwycięstwo w eliminacjach MŚ 2010, wygrywając przed własną publicznością z dotychczasowym liderem grupy 1. Albanią 2:0 (0:0).

MŚ: pięć medali polskich sumitów

Aron Rozum, Martin Alcer i Magdalena Kozak zdobyli w sobotę złote medale mistrzostw świata juniorów w sumo odbywających się w estońskiej miejscowości Rakvere. Medale brązowe przypadły Katarzynie Osipiuk i Bartłomiejowi Strussowi.

Rajd Faraonów: bezkonkurencyjny Francuz

Francuz David Casteu wygrał rywalizację motocyklistów w zaliczanym do mistrzostw świata terenowym Rajdzie Faraonów w Egipcie. Na mecie w Kairze w komplecie zameldowali się polscy motocykliści.

Do przerwy: Polacy prowadzą po pięknej akcji

Po pierwszych 45 minutach meczu na Stadionie Śląskim, Polska prowadzi z Czechami w spotkaniu eliminacji piłkarskich MŚ 2010 1:0.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia