Dyskretna transformata Fouriera

Z Wikipedii

Spis treści

1 Dyskretna transformata Fouriera
- 1.1 Przekształcenie odwrotne
2 Postać macierzowa DFT
3 Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera
4 Zobacz też

[edytuj] Dyskretna transformata Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera (DFT z ang. Discrete Fourier Transform) jest transformatą Fouriera wyznaczoną dla sygnału próbkowanego, a więc dyskretnego.

DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału $(a_{0}, a_{1}, a_{2},\dots, a_{N-1}), \ a_{i}\in\mathbb{R}$ w ciąg harmonicznych $(A_{0}, A_{1}, A_{2},\dots, A_{N-1}), \ A_{i}\in\mathbb{C}$ zgodnie ze wzorem:

$A_{k}=\sum_{n=0}^{N-1}{a_{n}w_{N}^{-kn}}, \ 0 \leq k \leq N-1$

$w_{N}=e^{i\frac{2\pi}{N}}$

gdzie:

$i$ - jednostka urojona, $k$ - numer harmonicznej, $n$ - numer próbki sygnału, $a n$ - wartość próbki sygnału, $N$ - liczba próbek.

[edytuj] Przekształcenie odwrotne

Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:

$a_{n}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{A_{k}w_{N}^{kn}}, \ 0 \leq n \leq N-1$

[edytuj] Postać macierzowa DFT

Wzory na przekształcenie proste, jak i odwrotne można zdefiniować w postaci macierzowej, odpowiednio w sposób następujący:

$\mathbf{A}=\mathbf{Ma}$

$\mathbf{a}=\mathbf{WA}$

Macierze $a$ , $A$ , $M$ , $W$ mają następującą postać:

$\mathbf{a}=\left[\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ \vdots \\ a_{N-1} \end{matrix}\right]$ $\mathbf{A}=\left[\begin{matrix} A_{0} \\ A_{1} \\ \vdots \\ A_{N-1} \end{matrix}\right]$

$\mathbf{M}=\left[\begin{matrix} w_{N}^{-0\cdot 0} & w_{N}^{-1\cdot 0} & \dots & w_{N}^{-(N-1)\cdot 0} \\ w_{N}^{-0\cdot 1} & w_{N}^{-1\cdot 1} & \dots & w_{N}^{-(N-1)\cdot 1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{N}^{-0\cdot (N-1)} & w_{N}^{-1\cdot (N-1)} & \dots & w_{N}^{-(N-1)(N-1)} \end{matrix}\right]$ $\mathbf{W}=\frac{1}{N}\left[\begin{matrix} w_{N}^{0\cdot 0} & w_{N}^{1\cdot 0} & \dots & w_{N}^{(N-1)\cdot 0} \\ w_{N}^{0\cdot 1} & w_{N}^{1\cdot 1} & \dots & w_{N}^{(N-1)\cdot 1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{N}^{0\cdot (N-1)} & w_{N}^{1\cdot (N-1)} & \dots & w_{N}^{(N-1)(N-1)} \end{matrix}\right]$

Macierze $M$ i $W$ mają wymiar $N$ x $N$ oraz spełniają warunek $W = M - 1$ lub zapisując inaczej $W M = I$ , gdzie $I$ - macierz jednostkowa.

[edytuj] Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera

Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera w punkcie $(m, n)$ definiujemy jako:

$V(m,n)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}{U(x,y)w_{N}^{-ny}w_{M}^{-mx}}$

Przekształcenie odwrotne:

$U(x,y)=\frac{1}{N M}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{M-1}{V(m,n)w_{N}^{ny}w_{M}^{mx}}$

Dwuwymiarowa transformata Fouriera wykorzystywana jest m.in. do cyfrowego przetwarzania obrazów.

[edytuj] Zobacz też

Polacy zasiądą w litewskim parlamencie?

Zdaniem szefa Akcji Wyborczej Polaków na Litwie (AWPL), posła Waldemara Tomaszewskiego partia polskiej mniejszości w niedzielnych wyborach parlamentarnych uzyska 5-6 proc. poparcia. Oznaczałoby to, że AWPL po raz pierwszy przekroczy 5-procentowy próg wyborczy, a jej kandydaci zasiądą w parlamentarnych ławach.

Milan Kundera wydał bezpiece kolegę

Czeskie media obiegła w niedzielę elektryzująca wiadomość. Słynny pisarz Milan Kundera w latach 50. XX wieku wydał czechosłowackiej komunistycznej służbie bezpieczeństwa przyjaciela swej koleżanki.

Białoruś bliżej Europy?

Uznając pewien postęp w procesie wyborczym na Białorusi, ministrowie spraw zagranicznych "27" mają w poniedziałek w Luksemburgu wznowić przerwane w 2004 roku relacje UE-Białoruś i zawiesić część sankcji wizowych.

Wybory na Litwie wygrała dotychczasowa opozycja

Opozycyjna partia konserwatywna Związek Ojczyzny - Litewscy Chrześcijańscy Demokraci Andriusa Kubiliusa wygrała w niedzielę wybory parlamentarne na Litwie, uzyskując - według sondaży exit poll - 21 procent głosów. Do sejmu nie wejdzie Akcja Wyborcza Polaków na Litwie.

Haidera zabiła prędkość

142 kilometrów na godzinę czyli z dwukrotnie większą niż dozwolona prędkością uderzył swoim volkswagenem w betonowy słup Joerg Haider. Przywódca austriackich nacjonalistów zginął na miejscu.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia