Z Wikipedii

Element odwrotny (albo przeciwny) jest uogólnieniem pojęcia liczby przeciwnej i odwrotności liczby.

Niech oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze S. Element x nazywa się elementem odwrotnym do y jeżeli spełnione są dwa warunki:

1. ,
2. ,

gdzie e oznacza element neutralny działania .

Jeżeli działanie zapisywane jest za pomocą symbolów , itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia − x. Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: , itp. i oznaczamy x ^{− 1}

[edytuj] Elementy jednostronne

Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek "zwykły" element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.

Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.

W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.

[edytuj] Przykłady

• Niech będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby 2 jest liczba − 2. Mamy bowiem: 2 + ( − 2) = 0 oraz ( − 2) + 2 = 0 (zero jest elementem neutralnym dodawania).
• Jeżeli jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby 2 jest liczba , bo (jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).

Ostatni przykład pokazuje, że nie każdy element musi mieć element odwrotny – liczba zero nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• łączność,
• przemienność,
• rozdzielność.