Element neutralny - Google

Element neutralny

Z Wikipedii

(Przekierowano z Element zerowy)
Skocz do: nawigacji, szukaj

Spis treści

Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

[edytuj] Definicja

Niech S\, będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym \diamondsuit. Element e\, nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki:

  • \forall_{a \in S} \; e \;\diamondsuit\; a = a,
  • \forall_{a \in S} \; a \;\diamondsuit\; e = a.

[edytuj] Uwaga

Nie każde działanie posiada element neutralny. Przykładem może być mnożenie liczb całkowitych zawężone do zbioru liczb parzystych – element neutralny mnożenia, jedynka, jest liczbą nieparzystą.

[edytuj] Oznaczenia

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej (zwykle przez + ), to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj przez symbol 0 i nazywa elementem zerowym, natomiast jeśli działanie opisywane jest w notacji multyplikatywnej (zwykle przez \cdot), to element neutralny oznaczany jest za pomocą znaku 1.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera e oraz I oraz symbole z nimi powiązane.

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Elementy jednostronne

Czasami wyróżnia się element neutralny lewostronny, gdy spełniony jest tylko pierwszy warunek definicji oraz element neutralny prawostronny, gdy spełniony jest wyłącznie drugi.

[edytuj] Przykłady

  • Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:
    \forall_x\;x - 0 = x,
jednocześnie
  • \forall_x\; 0 - x = -x,
a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.
  • Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech x \;\diamondsuit\; y = x \cdot \operatorname{Ent}(y) będzie działaniem w zbiorze S = \{x \in \mathbb R: x \ge 1\}, gdzie \operatorname{Ent}(y) oznacza część całkowitą liczby y. W tym przypadku każda liczba y < 2 jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem
    \forall_{S \ni x, y < 2}\; x \;\diamondsuit\; y = x \cdot \mbox{Ent}(y) = x \cdot 1 = x.

[edytuj] Własności

  • Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe i jest to oczywiście element neutralny obustronny (czyli po prostu element neutralny).
  • Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest oczywiście elementem neutralnym obustronnym.

[edytuj] Zastosowania

W definicjach większość ważnych w praktyce struktur algebraicznych takich jak grupy, pierścienie, czy ciała zakłada się istnienie elementów neutralnych.

[edytuj] Jednoznaczność

Element neutralny jest wyznaczony w grupie jednoznacznie, tzn. może istnieć co najwyżej jeden taki element.

[edytuj] Dowód

Załóżmy, że w grupie istnieją dwa różne elementy neutralne. Oznaczmy je jako e' i e''. Wówczas

e' = e' \;\diamondsuit\; e'' = e''

Przyjęte założenie okazało się błędne. Zatem w grupie może istnieć co najwyżej jeden element neutralny.

[edytuj] Zobacz też


El. MŚ: wysoka wygrana Serbii
W spotkaniu grupy 7. w ramach eliminacji do piłkarskich mistrzostw świata Serbia wygrała z Litwą 3:0 (2:0).
El. MŚ: pierwsza strata mistrzów świata
Piłkarze Włoch, aktualni mistrzowie świata, zanotowali pierwszą stratę punktów w eliminacjach MŚ 2010. W meczu grupy 8. zremisowali oni w Sofii z Bułgaria 0:0.
El. MŚ: Turcja zgarnęła trzy punkty
Turcja wygrała z Bośnią i Hercegowiną 2:1 (0:1) w meczu grupy 5. eliminacji piłkarskich mistrzostw świata.
El. MŚ: łatwa wygrana Danii
Dania wygrała w Kopenhadze Maltą 3:0 (2:0) w meczu grupy 1. eliminacji piłkarskich mistrzostw świata.
Kibice napadli na siedzibę federacji piłkarskiej
Senegalscy kibice napadli na siedzibę tamtejszej federacji piłkarskiej po remisie reprezentacji z Gambią 1:1 w eliminacjach mistrzostw świata. Wynik ten sprawił, że drużyna nie ma już szans na awans do MŚ. Nie zagra też w najbliższym turnieju o Puchar Narodów Afryki.
Linki: Strona gwna