Funkcja Möbiusa - Google

Funkcja Möbiusa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja Möbiusa – funkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 r. i zdefiniowana w następujący sposób:

  • μ (1) = 1
  • μ (n) = 0 jeÅ›li liczba n jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej;
  • μ (n) = (-1)k jeÅ›li liczba n nie jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej oraz jest iloczynem k liczb pierwszych;

Wartości funkcji Möbiusa dla małych n:

n μ(n)
1 1
2 -1
3 -1
4 0
5 -1
6 1
7 -1
8 0
9 0
10 1

Jak łatwo zauważyć, gdy n jest liczbą pierwszą, wartość funkcji wynosi -1.

Dla n > 1 zachodzi równość:

\sum_{d|n} \mu(d) = 0\,

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie naturalne dzielniki liczby n włącznie z 1 i n.

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Moebiusa:

μ(n) = -1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, ...
μ(n) = 0 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, ...
μ(n) = 1 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, ...

Wykres funkcji Möbiusa dla n \leq 50:

The 50 first values of the function

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza iż

  • \mu(a) \cdot \mu(b) = \mu(ab)

jeśli a i b są liczbami względnie pierwszymi. Istnieje także pojęcie funkcji całkowicie multiplikatywnej gdzie nie jest wymagany warunek względnej pierwszości, funkcji Möbiusa nie można jednak zaklasyfikować w ten sposób.

[edytuj] ZwiÄ…zek z funkcjami trygonometrycznymi

Spójrzmy na ciąg ułamków

\frac{1}{42}, \qquad \frac{2}{42}, \qquad \frac{3}{42}, \qquad \dots\dots, \qquad \frac{39}{42}, \qquad \frac{40}{42}, \qquad \frac{41}{42}.

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

\frac{1}{42}, \qquad \frac{5}{42}, \qquad \frac{11}{42}, \qquad \dots, \qquad \frac{31}{42}, \qquad \frac{37}{42}, \qquad \frac{41}{42}.

Utwórzmy sumę:

\cos\left(2\pi\cdot\frac{1}{42}\right)+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{5}{42}\right)+ \cdots+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{37}{42}\right)+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{41}{42}\right)

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

\sum_{1\le x< n, \operatorname{NWD} (x,n)=1} \cos \left(2\pi\cdot\frac{x}{n}\right)=\mu(n)

Trzęsienie ziemi w Chinach oczami ekspertów
W południowo-zachodnich Chinach rozpoczęła się akcja ratownicza po silnym trzęsieniu ziemi. Według geologów wstrząsy miały siłę 7,8 w skali Richtera, co może grozić poważnymi zniszczeniami. W dotknięty katastrofą rejon skierowano oddziały żołnierzy i ratowników.
Prace archeologiczne w więzieniu
W Goeteborgu, na terenie byłego ośrodka kwarantanny dla więźniarek uwolnionych z niemieckich obozów koncentracyjnych, prowadzone są badania archeologiczne. Poinformował o tym miejscowy dziennik "Goeteborgs- Posten".
Biopaliwa będą produkowane w nowoczesnych warunkach
Po dwóch latach budowy w Czechowicach - Dziedzicach, oddano do użytku jedną z pierwszych i najnowocześniejszych w kraju kompletną instalację do produkcji komponentów, wykorzystywanych przy produkcji biopaliw.
Szpiegowskie satelity pomogą ofiarom trzęsień
Amerykańskie satelity szpiegowskie mogą pomóc w ratowaniu ofiar dzisiejszego trzęsienia ziemi w Chinach. Zdjęcia z orbity już analizują rządowi eksperci.
Kielce dostały nowoczesny tomograf
Przydatny w diagnostyce i terapii chorób nowotworowych - a także kardiologicznych i neurologicznych - pozytonowy tomograf emisyjny (PET) uroczyście przekazano w poniedziałek do użytku w Świętokrzyskim Centrum Onkologii (ŚCO) w Kielcach.
Linki: Strona g³ówna