Funkcja odwrotna - Google

Funkcja odwrotna

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Funkcja odwrotna do funkcji f: X \to Y, to taka funkcja f^{-1}: Y \to X, której złożenia z funkcją f\,\! są funkcją tożsamościową:

(f^{-1} \circ f)(x) = x dla wszystkich x \in X oraz
(f \circ f^{-1})(y) = y dla wszystkich y \in Y.

Uwaga odnośnie notacji: symbol − 1 w indeksie górnym jest szerzej stosowany do oznaczenia elementów odwrotnych, nie oznacza jednak odwrotności mnożenia.

Spis treści

[edytuj] Własności

Funkcja odwrotna do funkcji f istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcją różnowartościową i "na", czyli funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją).

Tak więc skoro f − 1 jest funkcją odwrotną do f, to jasnym jest, iż f jest funkcją odwrotną do f − 1. Funkcje f oraz f − 1 nazywamy wtedy funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Jeżeli taka funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona jedyna, zaś samą funkcję f nazywamy funkcją odwracalną.

Własności funkcji odwrotnej są ściśle związane z własnościami funkcji danej – poniższa tabela przedstawia niektóre z tych powiązań dla rzeczywistej funkcji f.

funkcja f funkcja f − 1
rosnąca rosnąca
malejąca malejąca
ciągła ciągła
różniczkowalna różniczkowalna, y=f(x) \implies \left(f^{-1}\right)^\prime(y)={1\over f^\prime(x)},

jeśli f'(x) \ne 0 i (f^{-1})'(y) \ne 0
wykres f − 1 jest symetryczny do wykresu f względem prostej y = x

[edytuj] Przykłady

Dla funkcji określonych na zbiorze liczb rzeczywistych

  • funkcją odwrotną do y = 3x jest funkcja y = {x \over 3},
  • funkcją odwrotną do f(x) = 3x − 2 jest funkcja f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3},
  • funkcja g(x) = x2 nie ma odwrotnej, jeżeli za jej dziedzinę przyjmiemy zbiór liczb rzeczywistych, ma natomiast odwrotną, jeżeli za dziedzinę przyjmiemy zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych; funkcją odwrotną jest wtedy funkcja g^{-1}=\sqrt x,
  • funkcją odwrotną do h: R\setminus \{0\} \to R\setminus \{0\} danej wzorem h(x) = \frac{1}{x} jest ta sama funkcja: h = h − 1,
  • funkcją odwrotną do funkcji logarytmicznej jest funkcja wykładnicza.

[edytuj] Wyznaczanie funkcji odwrotnej

Aby wyznaczyć funkcję odwrotną do danej, należy rozwiązać równanie:

y = f(x),

w którym niewiadomą jest x. W otrzymanej zależności

x = g(y)

g = f − 1 jest szukaną funkcją odwrotną.

[edytuj] Przykład

Niech f(x) = 2x − 2.

Wówczas, oznaczając zmienną zależną przez y, mamy y = 2x − 2, a stąd y + 2 = 2x oraz

x = \frac{y + 2}{2} = {y \over 2} + 1 = g(y).

Zatem funkcja odwrotna ma wzór g(y) = f^{-1}(y) = {y \over 2} + 1. Ponieważ zmienną niezależną oznaczamy zwykle przez x, to w ostatniej równości możemy podstawić x w miejsce y otrzymując

f^{-1}(x) = {x \over 2} + 1.

[edytuj] Zobacz też


Cyfrowe zdjęcia mają swój "odcisk palca"
Dzięki charakterystycznym cechom zapisanym w każdym cyfrowym zdjęciu specjalista może ustalić, jakim aparatem je zrobiono - informuje "New Scientist".
Kliniczne badania skuteczności akupunktury
Czy akupunktura pomaga zajść w ciążę? Próbowano sprawdzić to w sposób naukowy i okazało się, że skuteczniejsze jest... placebo. Jednak jest w tym badaniu pewne "ale".
Związek obecny w czosnku uleczy cukrzycę?
Związek obecny w czosnku może stać się składnikiem doustnych tabletek na cukrzycę typu I oraz typu II, które mogą nawet zastąpić codzienne zastrzyki z insuliną - wykazali naukowcy z Japonii.
Nobliści apelują o edukację dzieci ze stref konfliktu
31 laureatów Pokojowej Nagrody Nobla w opublikowanym liście do światowych przywódców nalega na udzielenie pomocy 37 mln dzieci ze stref objętych konfliktami. Z powodu wojen dzieci nie mogą chodzić do szkoły.
Odkryto najstarszą solinę w Europie
Bułgarscy archeolodzy odkryli najstarszą w Europie, neolityczną salinę sprzed 7400 lat - poinformował dziennik "Trud".
Linki: Strona gwna