Funkcja różniczkowalna - Google

Funkcja różniczkowalna

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja różniczkowalna – funkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny.

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej co funkcja dziedzinie.

Spis treści

[edytuj] Funkcja n-krotnie różniczkowalna

Jeżeli funkcja f ma pochodną g w zbiorze A oraz funkcja g ma pochodną h w zbiorze B \subset A to powiemy, że f jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze B, oraz druga pochodna funkcji f na tym zbiorze to h. Analogicznie można zdefiniować n-tą pochodną funkcji f.

[edytuj] Funkcja klasy Cn

Jeżeli funkcja f ma w przedziale (a,b) n pochodnych i n-ta pochodna f (n) jest funkcją ciągłą w (a,b) to funkcję f nazywamy funkcją klasy Cn( (a,b) ). Przez funkcję klasy C 0 rozumiemy funkcję ciągłą.

Różniczkowalność jest silną własnością, jednakże czasem wymagamy, by badane funkcje spełniały dodatkowe warunki, np. by były różniczkowalne w sposób ciągły.

Uwaga ta dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność pociąga za sobą automatycznie analityczność.

Ważną klasę funkcji stanowi C^{\infty} (C-nieskończoność) czyli różniczkowalna dowolną liczbę razy. Klasę C^\infty nazywamy też klasą funkcji gładkich.

[edytuj] Przykłady

f(x) = \begin{cases} x^2\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \mathrm{gdy\ } x \ne 0 \\ 0 & \mathrm{gdy\ } x = 0 \end{cases}

jest różniczkowalna na całej prostej rzeczywistej ale wobec nieciągłości pochodnej w punkcie 0 jest tylko klasy C^{0}(\mathbb{R})

  • funkcja dana wzorem:
f(x) = \begin{cases} x^3\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \mathrm{gdy\ } x \ne 0 \\ 0 & \mathrm{gdy\ } x = 0 \end{cases}

jest klasy C^{1}(\mathbb{R}) ale nie C^{2}(\mathbb{R}).

[edytuj] Zobacz też:


Lubelskie: pogotowie przeciwpowodziowe
Wisła w Annopolu (Lubelskie) przekroczyła po południu stan alarmowy o 4 cm. W niżej położonych Puławach, poziom wody w rzece zbliżył się do stanu ostrzegawczego.
Lepper o Sejmie: to żenujące, kompromitacja
Andrzej Lepper, przewodniczący Samoobrony oświadczył w Olsztynie, że to, co dzieje się w Sejmie "jest żenujące", a "kłótnia między rządem, a pałacem prezydenckim kompromituje Polskę w oczach świata".
"Nie prowadzimy nagonki na Kurskiego i Wassermanna"
"Gazeta Wyborcza" nie prowadzi nagonki na posłów PiS Jacka Kurskiego i Zbigniewa Wassermanna. Wydaje się, że wyroki w procesach między "Gazetą" a nimi były sprawiedliwe - uważa z-ca redaktora naczelnego "Gazety" Piotr Pacewicz.
Pierwsza ofiara powodzi na Podkarpaciu
35-letni mieszkaniec Jabłonki w powiecie brzozowskim jest prawdopodobnie pierwszą ofiarą powodzi na Podkarpaciu. Ciało Grzegorza P. wyłowiono po południu z potoku Dydnianka, który wpada do Sanu.
Propozycja Szymanek-Deresz ws. ustawy medialnej
Jolanta Szymanek-Deresz (SLD) oceniła - dzień po tym jak Sejm podtrzymał weto prezydenta do ustawy medialnej - że obecnie jest dobry moment, aby rozpocząć prace nad ustawą medialną w układzie ponadpartyjnym, z uwzględnieniem postulatów Sojuszu.
Linki: Strona g³ówna