Funkcje Bessela

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje Bessela – rozwiązania y(x) równania różniczkowego drugiego stopnia ze zmiennymi współczynnikami (równania Bessela):

$x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{d y}{dx}+(x^2-\alpha^2)y=0$

gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zostały po raz pierwszy podane przez szwajcarskiego matematyka Daniela Bernoulliego.

Szczególnym przypadkiem, o szerokim zastosowaniu (m.in. w analizie rozkładu pola elektromagnetycznego czy przetwarzaniu sygnałów) są równania, gdzie α jest liczbą naturalną n, zwaną rzędem funkcji Bessela.

Ponieważ mamy do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego stopnia, musimy otrzymać dwa liniowo niezależne rozwiązania.

[edytuj] Funkcje Bessela pierwszego rodzaju

Z funkcjami tymi mamy do czynienia, jeśli wartości rozwiązania przy x=0 są liczbami skończonymi:

$J_\alpha(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\alpha}}{k!\Gamma(k+\alpha+1)}$ ,

gdzie Γ to funkcja gamma Eulera.

Wykres funkcji Bessela pierwszego rodzaju, rzędu 0, 1 i 2

[edytuj] Funkcje Bessela drugiego rodzaju

Zwane są również funkcjami Neumanna i występują wówczas, gdy dla x=0 wartości rozwiązań dążą do nieskończoności:

$Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},$

Wykres funkcji Bessela drugiego rodzaju, rzędu 0, 1 i 2

[edytuj] Funkcja generująca funkcje Bessela

Jeżeli rozwiniemy funkcję g(x, t) postaci $g(x,t) = e ^{ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) }$

w szereg Laurenta względem zmiennej t, to współczynniki tego rozwinięcia będą funkcjami Bessela I rodzaju.

$g(x,t) = e ^{ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) } = \sum _{n = -\infty}^{\infty} J_{n}(x) t^{n}$

[edytuj] Zmodyfikowane funkcje Bessela

[edytuj] Funkcje Henkela

[edytuj] Zmodyfikowane funkcje Henkela

[edytuj] Właściwości funkcji

Twoje piersi tego nie lubią!

Kobiety, które noszą źle dobrane biustonosze, niszczą sobie piersi - alarmują naukowcy.

Odkryto "pogromcę plemników"

Mężczyźni, którzy codziennie spożywają produkty sojowe produkują mniej plemników, niż mężczyźni, którzy nie jedzą ich wcale - informuje pismo "Human Reproduction".

Eksperci o trudnościach w uczeniu się

Niezależną platformę zajmującą się edukowaniem na temat zagadnień związanych z trudnościami w uczeniu się uruchomiono 23 lipca. Internetowy serwis pedagogiczny Reedukacja.pl skierowany jest przede wszystkim do rodziców i nauczycieli. Będzie tu gromadzona wiedza na temat dysgrafii, dysortografii, dyskalkulii i dysleksji. Za pośrednictwem materiałów dydaktycznych przygotowanych przez ekspertów z dziedziny pedagogiki, w tym przedstawicieli polskich uczelni wyższych, serwis pomaga radzić sobie z...

Knol - nowa konkurencja dla Wikipedii

Amerykański gigant informatyczny Google uruchomił serwis Knol, w którym internauci będą mogli publikować swoje artykuły i czerpać zyski z reklam - poinformował "Wall Street Journal".

Mały Tarbosaurus odnaleziony na pustyni Gobi

Japońscy i mongolscy uczeni odkryli kompletny szkielet młodego dinozaura sprzed 70 milionów lat - podało w czwartek japońskie muzeum przyrodnicze.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia