Funkcje cyklometryczne

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) — funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ . W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale [-1, 1] (czyli obrazie przedziału $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ przez funkcję sin).
arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale $[0,π]$ . W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale [-1, 1] (czyli obrazie przedziału $[0,π]$ przez funkcję cos).
arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale (-π/2, π/2). W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (-∞, +∞) (czyli obrazie przedziału (-π/2, π/2) przez funkcję tg).
arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale (0, π). W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (-∞, +∞) (czyli obrazie przedziału (0, π) przez funkcję ctg).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

arcsin x = y gdy sin y = x
arccos x = y gdy cos y = x
arctg x = y gdy tg y = x
arcctg x = y gdy ctg y = x

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów nie stawiamy, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest [-1, 1], a przeciwdziedziną [-π/2, π/2]
arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest [-1, 1], a przeciwdziedziną [0, π]
arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest (-∞, +∞), a przeciwdziedziną (-π/2, π/2)
arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest (-∞, +∞), a przeciwdziedziną (0, π)

Funkcje arcus sinus i arcus cosinus są związane zależnością $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ , a arcus tangens i arcus cotangens zależnością $\operatorname{arctg} x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2}$ .

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji arcus

Przykłady:

arcsin 0 = 0
arcsin 0,5 = π/6
arcsin 1 = π/2.
arccos 0 = π/2
arccos 0,5 = π/3
arccos (-1) = π
arctg 0 = 0
arctg 1 = π/4.
arcctg 0 = π/2
arcctg 1 = π/4.

Oto wykresy funkcji y = arcsin x, y = sin x oraz prosta y = x. Wykresy obu funkcji są symetryczne względem tej prostej.

Analogicznie, wykresy funkcji y = arccos x, y = cos x są symetryczne względem prostej y = x.

Wykresy funkcji y = arctg x, y = tg x są symetryczne względem prostej y = x.

Wykresy funkcji y = arcctg x, y = ctg x są symetryczne względem prostej $y = x$ .

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Unikalny cmentarz ugrofiński

Archeolodzy odkryli w okolicach miasta Suzdal w Rosji unikalne miejsce pochówku członków plemienia Ugrofinów, pochodzące z początków I tysiąclecia n.e. - donosi serwis internetowy icRussia.

Soczewki kontaktowe z elektroniką

Opracowano prototyp nowoczesnych soczewek kontaktowych, w których wnętrzu zatopiony jest układ elektroniczny oraz diody LED. Jest to przysłowiowy "kamień milowy" dla dziedziny nauki, która zajmuje się miniaturyzacją układów scalonych, donosi "LaserFocusWorld".

Groźny detoks

Pewna Brytyjka doznała uszkodzeń mózgu po poddaniu się tzw. diecie "detoks", która wymagała picia dużych ilości płynów.

Pod lodami Arktyki 90 mld baryłek ropy

90 mld baryłek ropy i ilość gazu równa całym znanym jego zasobom w Rosji - na tyle oceniają amerykańscy eksperci rządowi zasoby Arktyki. Ich szacunki opisał w czwartek "Financial Times".

Twoje piersi tego nie lubią!

Kobiety, które noszą źle dobrane biustonosze, niszczą sobie piersi - alarmują naukowcy.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia

Funkcje cyklometryczne

Z Wikipedii

[edytuj] Zobacz też