Funkcje hiperboliczne

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje hiperboliczne – funkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej określone następująco:

sinus hiperboliczny: $\sinh x = {e^x - e^{-x}\over 2}$ (oznaczany również sh(x))
cosinus hiperboliczny: $\cosh x = {e^x + e^{-x}\over2}$ (oznaczany również ch(x))
tangens hiperboliczny: $\operatorname{tgh} x = {\sinh x \over\cosh x} = {{e^x - e^{-x}}\over{e^x + e^{-x}}}$ (oznaczany również th(x))
cotangens hiperboliczny: $\operatorname{ctgh} x = {\cosh x \over\sinh x} = {{e^x + e^{-x}}\over{e^x - e^{-x}}}$
secans hiperboliczny: $\mbox{sech} x = {1\over\cosh x} = {\frac{2}{e^x+e^{-x}}}$
cosecans hiperboliczny: $\mbox{csch} x = {1\over\sinh x} = {\frac{2}{e^x-e^{-x}}}$

Spis treści

1 Związek z funkcjami trygonometrycznymi
2 Właściwości funkcji hiperbolicznych
3 Związki pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi
4 Pochodne funkcji hiperbolicznych
5 Rozwinięcia w szeregi potęgowe
6 Rozwinięcia w iloczyny nieskończone
7 Funkcje odwrotne
8 Wykresy
9 Zobacz też

[edytuj] Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci (cos x, sin x) jest okręgiem, analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci (cosh(x), sinh(x)) wyznacza hiperbolę. Wynika to z następującej tożsamości, znanej jako jedynka hiperboliczna:

$(\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1 \,$

Prawdziwe są również wzory:

$\sinh{(2t)}= 2 \sinh t \cosh t \,$

$\cosh{(2t)}= (\cosh t)^2 + (\sinh t)^2 \,$

Ponadto, korzystając ze wzoru Eulera

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, z zastosowaniem liczb zespolonych:

$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin(x)$

$\cosh(ix) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \cos(x)$

$\operatorname{tgh}(ix) = i \operatorname{tg}(x) \,$

$\sinh x = -i \sin(ix) \,$

$\cosh x = \cos(ix) \,$

$\operatorname{tgh} x = -i \operatorname{tg}(ix) \,$

$\operatorname{ctgh}(ix) = \frac{\operatorname{ctg}(x)}{i} = -i \operatorname{ctg}(x)$

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem 2πi (sinh, cosh, sech, csech), albo πi (tgh, ctgh).

[edytuj] Właściwości funkcji hiperbolicznych

Sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą
Cosinus hiperboliczny jest funkcją parzystą i funkcją rosnącą dla x>0 i malejącą dla x<0
Tangens hiperboliczny jest funkcją nieparzystą
$\sinh(\ln(\phi))=\frac{1}{2}$ przy czym φ jest złotą proporcją
$\cosh(\ln(\phi))=\frac{1}{2} \sqrt{5}$ przy czym φ jest złotą proporcją

[edytuj] Związki pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi

Odpowiednikiem wzoru jedynkowego $sin 2 x + cos 2 x = 1$ jest $c o s h 2 (z) - s i n h 2 (z) = 1$ . Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

[edytuj] Pochodne funkcji hiperbolicznych

$\operatorname{sinh}'(x) = \operatorname{cosh}(x)$

$\operatorname{cosh}'(x) = \operatorname{sinh}(x)$

$\operatorname{tgh}'(x) = {1\over{\cosh^2(x)}} = 1 - {\operatorname{tgh}^2(x)}$

$\operatorname{ctgh}'(x) = {{-1}\over{\sinh^2(x)}} = 1 - {\operatorname{ctgh}^2(x)}$

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji hiperbolicznych

[edytuj] Rozwinięcia w szeregi potęgowe

$\sinh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=z+\frac{1}{6}z^3+\frac{1}{120}z^5+\frac{1}{5040}z^7+\cdots$

$\cosh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{24}z^4+\frac{1}{720}z^6+\cdots$

[edytuj] Rozwinięcia w iloczyny nieskończone

$\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

[edytuj] Funkcje odwrotne

Funkcje hiperboliczne posiadają funkcje odwrotne zwane funkcjami area. Są one wyrażone przez logarytmy. Funkcją odwrotną do sinh jest area sinus hiperboliczny, do cosh area cosinus hiperboliczny itd.

[edytuj] Wykresy

Oto wykres funkcji sinh:

Wykres funkcji cosh ma kształt krzywej łańcuchowej:

[edytuj] Zobacz też

2 tys. programistów pracuje nad Windows 7

Nad następcą Windows Vista pracuje 25 zespołów, z których każdy liczy sto osób. Jak donosi serwis Computerworld inżynierowie Microsoftu zajmują się równocześnie nad wszystkimi aspektami nowego systemu operacyjnego, począwszy od interfejsu użytkownika, aż po komunikację sieciową.

Karty Radeon HD 4600 już wkrótce

Już niedługo do sprzedaży trafią karty graficzne ATI z serii Radeon HD 4600.

Cordless Desktop Wave dla profesjonalistów

Firma Logitech, znany producent urządzeń peryferyjnych, zaprezentował swój najnowszy zestaw wskazujący - Cordless Desktop Wave Pro.

ICom PrestigeBook 8530 - niedrogi, a taki wydajny

Firma ICom wprowadza na rynek nowy komputer przenośny. Model PrestigeBook 8530 cechuje wysoka wydajność i niewygórowana cena, dzięki czemu jest on obiektem marzeń niejednego gracza.

Włamał się na konta swojego nauczyciela

Do trzech lat więzienia grozi uczniowi z Krosna, który włamał się na konta internetowe swojego nauczyciela – poinformował wczoraj serwis Wirtualne Media.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia