Gradient (matematyka)

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy gradientu w matematyce i naukach przyrodniczych. Zobacz też: inne znaczenia słowa gradient.

Spis treści

1 Intuicje
- 1.1 Przykład
2 Definicja
3 Gradient funkcji określonej na otwartym podzbiorze
4 Przykład
5 Własności
6 Zastosowania
7 Zobacz też
8 Bibliografia
9 Przypisy

Gradient – w analizie matematycznej, operator różniczkowy, który polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe. Owo pole wektorowe ma kierunek i zwrot wektora największego wzrostu funkcji w danym punkcie, a wartość jest proporcjonalna do szybkości wzrostu (wzrost na jednostkę długości) funkcji. Wektor przeciwny gradientowi nazywany jest antygradientem.

Gradient oznaczany jest $grad$ lub odwróconym trójkątem (operator nabla): $\nabla$ zwanym nabla.

[edytuj] Intuicje

Intuicyjnie, gradient jest wektorem, którego zwrot wskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartości funkcji, natomiast długość odpowiada wzrostowi tej funkcji na jednostkę długości.

Definicja gradientu jako operatora tworzącego pole wektorowe jest pojęciem analizy matematycznej. Jednak często przez gradient rozumie się zmianę wielkości fizycznej spowodowanej zmianą odległości bez specjalnego wyróżniania kierunku. W tym sensie gradient jest używany jako płynna zmiana lub obszar zmiany i oznacza:

istnienie płynnej zmiany wielkości fizycznej (stężenia, pH, temperatury, gęstości ładunku elektrycznego) w określonej przestrzeni (powierzchni/objętości), jasności, koloru w grafice,
kierunek wektora gradientu (kierunek największej zmiany),
obszar, w którym występuje płynna zmiana.

[edytuj] Przykład

Wektory wskazują gradient zaciemnienia.

Rozpatrzmy funkcję „stopień zaciemnienia” określającą jasność punktu w zadanym obszarze (każdemu punktowi przyporządkowano liczbę więc funkcja jest skalarna). Operator gradient przypisuje każdemu punktowi tego obszaru wektor wskazujący kierunek najszybszego wzrostu zaciemnienia obszaru. Wektory przedstawione na grafikach są ilustracją tego pola wektorowego.

[edytuj] Definicja

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami Banacha, $U\subset X$ będzie zbiorem otwartym oraz $f\colon U \to Y$ będzie różniczkowalna na $U$ . Odwzorowanie

$U\ni x \mapsto f^\prime(x) \in X^\star$ ^[1]

nazywamy gradientem funkcji $f$ .

Jeżeli $X=\mathbb{R}^n$ , to istnieje izomorfizm $\Phi\colon \mathbb{R}^n \to (\mathbb{R}^n)^\star$ .^[2] Możemy wówczas pochodnej funkcji przyporządkować pole wektorowe

$U\ni x \mapsto (\Phi\circ f^\prime)(x)\in \mathbb{R}^n$ .

Pole to nazywamy gradientem funkcji $f$ i oznaczamy $grad f$ lub $\nabla f$ .

[edytuj] Gradient funkcji określonej na otwartym podzbiorze $\mathbb{R}^3$

Niech $f\colon \mathbb{R}^3\supset U\to \mathbb{R}$ będzie różniczkowalna na zbiorze otwartym $U$ .

W układzie współrzędnych kartezjańskich wektor gradientu jest określony jako:

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right]$

lub inaczej

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \vec j + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \vec k$

gdzie $\vec i,\ \vec j,\ \vec k$ są wersorami osi kartezjańskiego układu współrzędnych.

W układzie współrzędnych cylindrycznych (walcowych):

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi},\frac{\partial f}{\partial z} \right]$

lub inaczej

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \vec i_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi} \cdot \vec i_{\phi} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \vec i_z$

gdzie $\vec i_r,\ \vec i_{\phi},\ \vec i_z$ są wersorami cylindrycznego układu współrzędnych.

W układzie współrzędnych sferycznych:

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta},\frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \right]$

lub inaczej

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \vec i_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \cdot \vec i_{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \cdot \vec i_{\phi}$

gdzie $\vec i_r,\ \vec i_{\theta},\ \vec i_{\phi}$ są wersorami sferycznego układu współrzędnych.

Łatwo rozszerzyć powyższe własności na funkcje $f\colon \mathbb{R}^n\supset U \to \mathbb{R}$ korzystając ze wzorów na uogólnione współrzędne sferyczne czy walcowe.

[edytuj] Przykład

Gradient funkcji $f (x, y, z) = 2 x + 3 y 2 - sin z$ :

$\nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right] = [2, 6y, -\cos z]$

[edytuj] Własności

Niech $\mathbf{F,G}$ oznaczają pola wektorowe, $φ,ψ$ oznaczają pola skalarne oraz $a,b\in\mathbb{R}$ . Wówczas

Gradient jest liniowy ze względu na liczby rzeczywiste:

$\nabla\left(a\phi+b\psi\right) = a\nabla \phi + b\nabla \psi$ ,

spełnia prawo Leibniza dla funkcji:

$\nabla\left(\phi\psi\right) = \left(\nabla \phi\right) \psi + \phi\nabla \psi\,,$

$\nabla\left(\frac{\phi}{\psi}\right) = \frac{\psi\nabla \phi\ - \phi\nabla \psi}{\psi^2}$ ,

gradient iloczynu skalarnego pól wektorowych:

$\nabla\left(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}\right) = \left(\mathbf{F}\cdot\nabla\right)\mathbf{G} +\left(\mathbf{G}\cdot\nabla\right)\mathbf{F} +\mathbf{F}\times\left(\nabla\times\mathbf{G}\right) +\mathbf{G}\times\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\,,$

gdzie $\nabla \times \mathbf{F}$ jest rotacją pola wektorowego $\mathbf{F}$ .

Własności wektora gradientu pola skalarnego :

kierunek i zwrot wektora gradientu wskazuje kierunek, w którym dana wielkość f pola skalarnego rośnie najszybciej,
długość wektora (wartość/moduł wektora) gradientu określa szybkość wzrostu (przyrost na jednostkę długości) badanej wielkości w kierunku określonym przez gradient,
wartość gradientu jest równa pochodnej kierunkowej dla kierunku największego wzrostu, czyli określa największy wzrost wielkości skalarnej.

[edytuj] Zastosowania

W niektórych szybko przebiegających reakcjach chemicznych zachodzących na granicy faz zachodzi zjawisko gradientowego stężenia substratów w objętości. Stwierdzenie to oznacza, że blisko granicy faz, gdzie przebiega właściwa reakcja stężenie produktów jest najwyższe, zaś czym dalej od tej granicy stężenie to spada. Zjawisko takie zachodzi np. przy elektrolizie

W przypadku polimerów możliwe jest otrzymywanie tzw. kopolimerów gradientowych, w których, na jednym końcu polimeru występuje więcej jednego meru a na przeciwległym drugiego.

W meteorologii, fragment opisu stanu atmosfery "W niezbyt grubej warstwie - 81 m, różnica temperatury wynosiła aż 8,5 stopnia, tj. średnio ponad jeden stopień na 10 m wysokości. Tak duże ujemne, pionowe gradienty temperatury są rzadkością".

W fizyce, gradientem energii potencjalnej jest siła, potencjału (np elektrycznego, grawitacyjnego) jest natężenie tego pola.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.

Przypisy

↑ Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha nad ciałem $\mathbb{K}$ , to $X^\star=\{\varphi\colon X\to \mathbb{K}\colon \; \varphi$ - liniowe i ciągłe $}$ . Zob. przestrzeń sprzężona.
↑ Na mocy twierdzenia, iż przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego wymiaru. $\dim (\mathbb{R}^n)^\star=\dim \mathbb{R}^n \cdot \dim \mathbb{R}=n\cdot 1=n=\dim \mathbb{R}^n$ .

p • d • e

Operatory różniczkowe

dywergencja • gradient • nabla • dalambercjan • laplasjan • rotacja

Polska liderem w pokazywaniu europejskich produkcji

Europejskie stacje telewizyjne przeznaczają ponad 65 proc. czasu antenowego na produkcje europejskie, w tym ponad 36 proc. na produkcje niezależnych producentów z UE - wynika z piątkowego raportu Komisji Europejskiej. Polska jest liderem rankingu krajów UE.

TVP procesuje się z "Dziennikiem"

Przeprosin i wpłaty 200 tys. na cel społeczny żąda TVP od "Dziennika" za artykuł pt. "Korupcja w TVP" - o domniemanej propozycji wiceszefowej Agencji Informacji TVP Patrycji Koteckiej wyższych wycen za materiały kompromitujące PO.

Maks Kolonko procesuje się z "Faktem"

Przeprosin i 100 tysięcy zł zadośćuczynienia żąda od wydawcy "Faktu" znany prezenter TV Mariusz Maks Kolonko za nazwanie go "łajdakiem" i sugestię, że swój związek z Weroniką Rosati traktował instrumentalnie.

Powstaje audiobook o Śląsku

Sześć płyt i książka z esejami złożą się na audiobook poświęcony Śląskowi. Ma to być dźwiękowy pejzaż regionu.

Dodatek o Powstaniu Warszawskim w "Rzeczpospolitej"

Dzisiaj dziennik "Rzeczpospolita" (Presspublica) ukaże się z dodatkiem poświęconym Powstaniu Warszawskiemu – "Warszawa '44".

Linki: Strona g��wna

[0] Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha nad ciałem $\mathbb{K}$ , to $X^\star=\{\varphi\colon X\to \mathbb{K}\colon \; \varphi$ - liniowe i ciągłe $}$ . Zob. przestrzeń sprzężona.

[1] Na mocy twierdzenia, iż przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego wymiaru. $\dim (\mathbb{R}^n)^\star=\dim \mathbb{R}^n \cdot \dim \mathbb{R}=n\cdot 1=n=\dim \mathbb{R}^n$ .

[1]

[2]

Encyklopedia

Gradient (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Intuicje

[edytuj] Przykład

[edytuj] Definicja

[edytuj] Gradient funkcji określonej na otwartym podzbiorze

[edytuj] Przykład

[edytuj] Własności

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

Przypisy

[edytuj] Gradient funkcji określonej na otwartym podzbiorze $\mathbb{R}^3$