Granica dolna i górna

Z Wikipedii

Ilustracja granicy górnej oraz dolnej. Ciąg

x n

zaznaczono kolorem niebieskim. Dwie czerwone krzywe dążą do granicy górnej i dolnej

x n

nakreślonych po prawej linią ciągłą.

Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.

[edytuj] Definicja

Granica dolna i górna ciągu $(a n)$ definiowane są odpowiednio wzorami

$\liminf_{n \to \infty}~{a_n} \overset\underset\mathrm{def}\ = \lim_{n \to \infty}~\left(\inf_{k \geqslant n}~a_k\right) = \sup_{n \geqslant 0}~\inf_{k \geqslant n}~a_k$ ,

$\limsup_{n \to \infty}~{a_n} \overset\underset\mathrm{def}\ = \lim_{n \to \infty}~\left(\sup_{k \geqslant n}~a_k\right) = \inf_{n \geqslant 0}~\sup_{k \geqslant n}~a_k$ .

Jeżeli ciąg posiada granicę dolną oraz górną i są one sobie równe, to posiada także granicę zwykłą równą wspólnej wartości granic dolnej i górnej. Zachodzi także twierdzenie odwrotne: jeżeli ciąg ma granicę, to ma on także granicę dolną oraz górną i są one sobie równe.

Należy mieć na uwadze, że oznaczenia granic dolnej i górnej stanowią jedną całość i nie składają się z oddzielnych oznaczeń $\lim$ oraz $\inf$ , czy $\sup$ , co widać w powyższych napisach, gdzie $\scriptstyle{n \to \infty}$ rozpościera się równo pod całym napisem $\liminf$ lub $\limsup$ , a nie jego pewną częścią. Korzysta się również z symboli $\underline{\lim}$ na oznaczenie granicy dolnej oraz $\overline{\lim}$ na oznaczenie granicy górnej.

[edytuj] Przykłady

Najprostszym przykładem jest

$\limsup_{n \to \infty} \pm n = \liminf_{n \to \infty} \pm n = \pm\infty$ .

Oczywiście istnieją ciągi, dla których granica dolna jest różna od granicy górnej. Ciągi takie, są oczywiście rozbieżne:

$\limsup_{n \to \infty} (-1)^n (1 - \tfrac{1}{n}) = 1$ , ale

$\liminf_{n \to \infty} (-1)^n (1 - \tfrac{1}{n}) = -1$ .

Podobnie

$\limsup_{n \to \infty}~\sin \tfrac{\pi n}{100} = 1$ , ale

$\liminf_{n \to \infty}~\sin \tfrac{\pi n}{100} = -1$ .

[edytuj] Własności

Dla dowolnych ciągów $(a n),(b n)$ prawdziwe są następujące nierówności:

$\limsup_{n \to \infty}~a_n + \limsup_{n \to \infty}~b_n \geqslant$

$\geqslant \limsup_{n \to \infty}~(a_n + b_n) \geqslant$

$\geqslant \limsup_{n \to \infty}~a_n + \liminf_{n \to \infty}~b_n \geqslant$

$\geqslant \liminf_{n \to \infty}~(a_n + b_n) \geqslant$

$\geqslant \liminf_{n \to \infty}~a_n + \liminf_{n \to \infty}~b_n$ .

[edytuj] Zobacz też

ASTD współorganizatorem Międzynarodowego Kongresu Kadry

W dniach 24-27 listopada odbędzie się Międzynarodowy Kongres Kadry - VIII edycja Kongresu Kadry, po raz pierwszy w wydaniu międzynarodowym.

Obrady WTO na razie bez przełomu

W toczących się od poniedziałku rozmowach w Genewie na temat zniesienia barier w światowym handlu w ramach tzw. rundy z Dauhy do soboty nie udało się wypracować porozumienia.

Absurdalne zapisy blokują unijne dotacje

Bardzo dobry projekt może nie dostać dofinansowania, jeżeli np. przedsiębiorca wypełni wniosek... czarnym długopisem. Takie wątpliwe wymogi wymyślają urzędnicy - czytamy w "Rzeczpospolitej".

KE zamroziła ponad 2 mld euro dla Bułgarii

Komisja Europejska zamroziła znacznie więcej środków dla Bułgarii, niż ogłoszone w środę 825 mln euro z przedakcesjnych funduszy ISPA, PHARE i SAPARD - napisał bułgarski dziennk "Sega".

Betacom: 35 proc. zysku na dywidendę?

Zarząd Betacom zamierza wnioskować do Rady Nadzorczej i WZA o przeznaczenie na wypłatę dywidendy około 35 proc. zysku netto za rok obrotowy 2007/08. W kolejnych latach zarząd planuje rekomendować wypłatę dywidendy na poziomie 25-35 proc. zysku - poinformowała spółka w raporcie rocznym.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia