Granica funkcji - Google

Granica funkcji

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
 Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować
Po likwidacji wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Spis treści

Granica funkcji – nieformalnie, wartość do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy'ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

[edytuj] Historia

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue'a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą, ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

[edytuj] Granica w punkcie

Funkcja f\colon A \to \mathbb R określona na zbiorze A \subseteq \mathbb R ma w punkcie skupienia x0 tego zbioru granicę równą g, co zapisuje się f(x) \to g przy x\to x_0 lub \lim_{x \to x_0}f(x)=g, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwóch równoważnych definicjach:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n \in A, x_n \ne x_0 oraz \lim_{n \to \infty}~x_n = x_0 ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do g przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
dla każdej liczby \varepsilon > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, że dla każdego x \in A z nierówności 0 < | x − x0 | < δ wynika nierówność |f(x) - g| < \varepsilon; w zapisie symbolicznym:
\lim_{x \to x_0}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon).

[edytuj] Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami w opozycji do ukazanej w tej sekcji obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna są sobie równe, to są one równe granicy obustronnej; twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe.

Liczba g jest granicą lewostronną funkcji f w lewostronnym punkcie skupienia x0 dziedziny, co zapisuje się f(x) \to g przy x \to x_0^- lub \lim_{x \to x_0^-}~f(x)=g, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n \in A, x_n < x_0 oraz \lim_{n \to\infty}~x_n = x_0, ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do g przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
\lim_{x \to x_0^-}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 - \delta < x < x_0 \implies |f(x) - g| < \varepsilon).

Liczba g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji f, co zapisuje się f(x) \to g przy x\to x_0^+ lub \lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n \in A, x_n > x_0 oraz \lim_{n \to \infty}~x_n = x_0 ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do g przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
\lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 < x < x_0 + \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon).

[edytuj] Granica niewłaściwa

Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą \pm\infty, co zapisuje się f(x) \to \pm\infty przy x\to x_0 lub \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n \in A, x_n \ne x_0 oraz \lim_{n \to \infty}~x_n = x_0 ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do \pm\infty przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
\lim_{x \to x_0}~f(x) = +\infty \iff \forall_{M>0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) > M)
\lim_{x \to x_0}f(x) = -\infty \iff \forall_{m < 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) < m).

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną.

[edytuj] Granica w nieskończoności

Funkcja f określona dla x > a\; (x < a) ma w plus (minus) nieskończoności granicę g, co zapisuje się f(x) \to g przy x \to \pm\infty lub \lim_{x \to \pm\infty}~f(x) = g, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwóch równoważnych definicjach:

definicje Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n > a\; (x_n < a) oraz x_n \to \pm\infty ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do g przy n \to \infty;
definicje Cauchy'ego
\lim_{x \to +\infty}~f(x) = g \iff \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\; |f(x) - g| < \varepsilon
\lim_{x \to -\infty}~f(x) = g \iff\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x < \alpha}\; |f(x) - g| < \varepsilon

[edytuj] Granica niewłaściwa

Funkcja f określona na przedziale (a, \infty) ma w nieskończoności granicę niewłaściwą \pm\infty, co zapisuje się f(x) \to \pm\infty przy x \to \infty lub \lim_{x \to \infty}~f(x) = \pm\infty, gdy spełnione są warunki określone w następujących dwóch równoważnych definicjach:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (xn) takiego, że x_n \in (a;\infty) oraz x_n \to \infty, ciąg wartości funkcji f(xn) dąży do \pm\infty przy n \to \infty, co zapisuje się \lim_{n \to \infty}~f(x_n) = \pm\infty;
definicja Cauchy'ego 
\lim_{x \to +\infty}~f(x) = +\infty \iff \forall_{M > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\; f(x) > M
\lim_{x \to +\infty}~f(x) = -\infty \iff \forall_{m < 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\;\forall_{x > \alpha}\; f(x) < m

Analogicznie definiuje się granice niewłaściwe funkcji w -\infty.

[edytuj] Własności

  • Jeśli funkcje f i g określone są na zbiorze A \subseteq \mathbb R mają granice właściwe \lim_{x \to x_0}~f(x) = a i \lim_{x \to x_0}~g(x) = b, to:
  • \lim_{x \to x_0}~(f(x) \pm g(x)) = a \pm b,
  • \lim_{x \to x_0}~(f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b,
  • \lim_{x \to x_0}~\tfrac{f(x)}{g(x)} = \tfrac{a}{b}, gdy g(x) \ne 0 oraz b \ne 0.
Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.
  • Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że \lim_{x \to \infty}~\tfrac{\sin x}{x} = 0 nie oznacza, że istnieją granice \lim_{x \to \infty}~\sin x czy \lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x}. W podanym w przykładzie granica \lim_{x \to \infty}~\sin x nie istnieje, natomiast \lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x} = 0.
  • Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.
Jeśli funkcja f\colon A \to \mathbb R ma w punkcie x0 granicę \lim_{x \to x_0}~f(x) = y_0, funkcja h\colon B \to \mathbb R ma w punkcie y0 granicę \lim_{y \to y_0}~h(y) = g, przy czym x0 i y0 są odpowiednio punktami skupienia zbiorów A \cap f^{-1}(B) oraz B, przy czym f(x) \ne y_0 dla każdego x z pewnego sąsiedztwa punktu x0, to \lim_{x \to x_0}~(h\circ f)(x) = \lim_{y \to y_0}~h(y) = g.

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty \implies \lim_{x \to x_0}~\tfrac{1}{f(x)} = 0,
  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = 0 oraz f(x) > 0\; \big(f(x) < 0\big) w pewnym sąsiedztwie x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~\tfrac{1}{f(x)} = \pm\infty,
  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty oraz c>0 \implies \lim_{x \to x_0}~cf(x)=\pm\infty,
  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty oraz c<0 \implies \lim_{x \to x_0}cf(x)=\mp\infty,
  • \lim_{x \to x_0}f(x) = \pm\infty oraz 0 < a \le h(x) w pewnym sąsiedztwie x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~f(x)\cdot h(x) = \pm\infty,
  • \lim_{x \to x_0}f(x) = \pm\infty oraz h(x) \le a < 0 w pewnym sąsiedztwie x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~f(x)\cdot h(x) = \mp\infty.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia


Lubuskie: PO i PSL w koalicji z SLD
Rządząca województwem lubuskim Platforma Obywatelska podpisała umowę koalicyjną z Sojuszem Lewicy Demokratycznej i PSL. Głównym celem koalicji jest odwołanie marszałka województwa Krzysztofa Szymańskiego, nota bene powołanego na to stanowisko przez PO.
Recydywista znowu próbował gwałtu
Policjanci z Brzegu (Opolskie) zatrzymali mężczyznę, który usiłował zgwałcić 24-letnią kobietę. 30-letni Krzysztof B. był już wcześniej karany za podobne przestępstwa - rzecznik opolskiej policji, kom. Maciej Milewski.
Podlasie: 24 miliony strat po burzach
Na 24 mln zł oszacowane zostały straty mieszkańców ponad 50 podlaskich wsi, w których w nocy z soboty na niedzielę szkody wyrządziła wichura i burze - poinformował Podlaski Urząd Wojewódzki w Białymstoku.
Pogrzeb wielkiej badaczki Biblii i antyku
Arcybiskup metropolita gnieźnieński Henryk Muszyński powiedział w czwartek podczas nabożeństwa żałobnego za zmarłą prof. Annę Świderkównę, że będzie ona przewodniczką dla wielu pokoleń.
Wyjazd na misję nie jest przymusem
"Mój mąż jest w Afganistanie, choć nie chciał jechać na wojnę, ale musiał" – taką alarmistyczną informację otrzymaliśmy na serwis CYNK od księżniczkixxx.
Linki: Strona gwna