Z Wikipedii

Grupa cykliczna – grupa, której wszystkie elementy są potęgami pewnego elementu grupy. Równoważnie, jest to grupa generowana przez jeden z jej elementów (elementów które generują tę grupę może być wiele).

[edytuj] Definicje

• Grupę G nazywamy cykliczną, jeśli ma ona jednoelementowy zbiór generatorów.

Jeśli jest generatorem grupy G, to napiszemy . Wówczas

.

Liczba elementów grupy cyklicznej zależy od rzędu generatora.

• Jeśli generator g grupy G jest skończonego rzędu n, to grupę G nazywa się skończoną grupą cykliczną (rzędu n). Ma ona n elementów,

.

• Jeśli generator grupy ma rząd nieskończony, to grupę nazwiemy nieskończoną grupą cykliczną. Jest ona grupą przeliczalnie nieskończoną i lista

podaje wszystkie elementy grupy bez powtórzeń.

• Niech dany będzie dowolny element h danej grupy G. Podgrupę nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez ten element, ma ona rząd równy rzędowi elementu h.

[edytuj] Własności

• Niech będzie grupą cykliczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) G jest skończoną grupą cykliczną,

(b) dla pewnych różnych liczb całkowitych mamy, że g^k = g^l,

(c) dla pewnej liczby całkowitej mamy, że g^k = e,

(d) dla pewnej liczby naturalnej n, grupa G jest izomorficzna z grupą addytywną liczb całkowitych modulo n.

• Niech będzie grupą cykliczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) G jest nieskończoną grupą cykliczną,

(b) dla każdych liczb całkowitych k < l mamy, że ,

(c) grupa G jest izomorficzna z addytywną grupą liczb całkowitych.

(W obu powyższych przypadkach izomorfizmem jest odwzorowanie przyporządkowujące elementowi wykładnik generatora, czyli .)

• Każda grupa cykliczna jest przemienna, gdyż g^mgⁿ = g^{n + m} = gⁿg^m, dla dowolnych elementów g^m,gⁿ danej grupy cyklicznej.

Poniższe stwierdzenia są wnioskami z twierdzenia Lagrange'a:

• Jeśli grupa nie ma podgrup właściwych (tzn. różnych od całej grupy i grupy złożonej z jej elementu neutralnego), to jest ona grupą cykliczną o rzędzie wyrażającym się liczbą pierwszą.
• Jeśli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to grupa jest cykliczna.

[edytuj] Grupy o rzędzie wyrażającym się potęgą liczby pierwszej

Grupy cykliczne o rzędzie będącym potęgą liczby pierwszej, oznaczane , gdzie p jest pierwsza, a m naturalna są często rozważane w kontekście teorii grup przemiennych.

Każda skończona grupa przemienna G może być zapisana jako skończona suma prosta podgrup tego rodzaju:

.

Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do porządku.

Grupy te wyróżniają się pośród skończenie generowanych grup przemiennych jako grupy torsyjne, które nie mogą być wyrażone jako suma prosta dwóch właściwych podgrup. Wraz z grupą liczb całkowitych, stanowią one „klocki” z których składają się skończenie generowane grupy abelowe.

Podgrupy cyklicznych grup o rzędzie będącym potęgą liczb pierwszych są uporządkowane liniowo przez relację zawierania. Jedynymi innymi grupami o tej własności są grupy quasicykliczne.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• grupa czwórkowa Kleina (najmniejsza grupa niecykliczna)