Grupa permutacji

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Grupa permutacji – grupa wszystkich bijekcji pewnego zbioru w siebie (czyli permutacji) z działaniem składania pełniącego rolę działania grupowego i identycznością jako elementem neutralnym. Elementem odwrotnym do danego jest funkcja (permutacja) odwrotna do danej, która zawsze istnieje z definicji bijekcji.

Niekiedy nazywana jest ona także grupą symetryczną, zaś przez niektórych autorów^{[potrzebne źródło]} nazwa grupy permutacji stosowana jest na określenie jej (właściwej) podgrupy.

[edytuj] Oznaczenia

W literaturze matematycznej istnieje szereg różnych systemów oznaczeń używanych w kontekscie grup permutacji.

Gleichgewicht^[1] wprowadza symbol $S (X)$ na oznaczenie grupy wszystkich permutacji zbioru X. Gdy $X=\{1,2,\ldots,n\}$ , to zamiast $S (X)$ pisze on $S n$ . Ten ostatni symbol jest także używany przez Langa^[2] oraz Browkina ^[3] Natomiast Komorowski^[4] używa oznaczeń $Bij(X, X)$ , $Π(n)$ na $S (X)$ , $S n$ odpowiednio.

Wśród innych oznaczeń spotyka się również $\mathfrak{S}(X)$ , $Σ n$ oraz $Sym(X)$ . Ostatni rodzaj oznaczeń jest używany szczególnie w odniesieniu do zbiorów nieskończonych (i wtedy zwykle używa się nazwy grupa symetryczna').

[edytuj] Przykłady

Gdy $X = {0,1}$ , mamy tylko dwie permutacje zbioru $X$ : $0 \mapsto 0, 1 \mapsto 1$ (identycznościowa) oraz $0 \mapsto 1, 1 \mapsto 0$ (transpozycja). Jeśli $X = {0,1,2}$ , to mamy już 6 permutacji.

[edytuj] Zastosowania

Grupy permutacji okazały się szczególnie pomocne przy badaniu rozwiązywalności równań algebraicznych.
Dla każdej liczby naturalnej n, rząd (liczba elementów) grupy $S n$ jest równy n!.
Dla $n > 2$ grupa $S n$ nie jest przemienna, a dla $n > 4$ nie jest rozwiązalna.
Zachodzi tzw. twierdzenie Cayleya: każdą grupę można utożsamiać z podgrupą pewnej grupy permutacji.

Przypisy

↑ Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 35-37. ISBN 83-01-03903-5
↑ Lang, Serge: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973. Strona 70.
↑ Browkin, Jerzy: Teoria Ciał. Biblioteka Matematyczna Tom 49. Państwowe Wydawnictow Naukowe, Warszawa 1978. Strona 37 i kolejne.
↑ Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tenssorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strony 2-3.

[edytuj] Zobacz też

Sarkozy apeluje o nowy kapitalizm

Prezydent Francji Nicolas Sarkozy zaatakował w czwartek finansowych spekulantów za "wypaczenie" kapitalizmu, który powinien przejść odnowę dzięki nowej roli rządów i wartościom moralnym.

Ciech podtrzymał prognozę przychodów w 2008 r. na poziomie 4,27 mld zł

Spółka chemiczna Ciech spodziewa się wykonania prognozy przychodów za 2008 r. w wysokości ponad 4,0 mld zł, wynika z czwartkowej wypowiedzi członka zarządu ds. finansowych, Roberta Bednarskiego.

Ekspert: gaz zacznie tanieć w Polsce od kwietnia br.

Począwszy od kwietnia br. Polska może oczekiwać spadku hurtowej ceny gazu o ok. 100 USD lub nawet więcej za tysiąc metrów sześc. - powiedział w czwartek PAP brytyjski ekspert Jonathan Stern z Oxford Institute for Energy Studies.

Expander: ostatnia okazja, aby nie dać się wylosować do OFE

Jeszcze tylko dwa dni pozostały osobom, które w ostatnim czasie rozpoczęły pracę, na wybór Otwartego Funduszu Emerytalnego. Osoby, które nie podejmą decyzji zostaną przydzielone do funduszu w drodze losowania, które odbędzie się 30 stycznia. Aby nie zostać wylosowanym trzeba zawrzeć umowę z funduszem do 10 stycznia.

Gawlik: resort skarbu sprawdza umowy hedgingowe LOT

Resort skarbu bada okoliczności zawierania kontraktów na zakup paliwa przez Polskie Linie Lotnicze (PLL) LOT - poinformował w Sejmie w czwartek wiceminister skarbu Zdzisław Gawlik.

Linki: Strona g��wna

[0] Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 35-37. ISBN 83-01-03903-5

[1] Lang, Serge: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973. Strona 70.

[2] Browkin, Jerzy: Teoria Ciał. Biblioteka Matematyczna Tom 49. Państwowe Wydawnictow Naukowe, Warszawa 1978. Strona 37 i kolejne.

[3] Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tenssorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strony 2-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

Encyklopedia