Grupa podstawowa

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwagi
2 Teoria kategorii
3 Przykłady
4 Łukowa spójność
5 Źródła
6 Literatura
7 Zobacz też

Grupa podstawowa – rozważana w topologii grupa klas homotopii pętli w przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem (lub łukowo spójnej), pozwalająca na użycie względnie łatwych metod algebraicznych do dowodzenia skomplikowanych twierdzeń topologicznych.

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną z wyróżnionym punktem $a \in X$ , zaś $Ω(X, a)$ zbiorem pętli zaczepionych w $a$ w niej określonych. Niech $\alpha, \alpha', \beta, \beta', \gamma, \gamma' \in \Omega(X, a)$ .

Iloczynem (złożeniem) pętli $α,β$ nazywamy pętlę

$(\alpha \star \beta)(s) = \begin{cases} \alpha(2s), & \mbox{ dla } s \in [0, \tfrac{1}{2}], \\ \beta(2s - 1), & \mbox{ dla } s \in [\tfrac{1}{2}, 1]. \end{cases}$

Odwrotnością pętli $α$ nazwiemy pętlę

$\overline \alpha(s) = \alpha(1 - s)$ dla $s \in [0, 1]$ .

Wyróżnijmy też odwzorowanie stałe $\varepsilon_a(x) = a$ dla każdego $x \in [0,1] \subset \mathbb R$ .

Powyższe przekształcenia nie posiadają dobrych własności algebraicznych, przede wszystkim dlatego, że pętle o identycznym obrazie mogą różnić się parametryzacją (zależą od czasu) uważane są za różne. Ich utożsamienie za pomocą relacji homotopii, co tłumaczą poniższe uwagi, pozwala na określenie podstawowej struktury algebraicznej – grupy – w zbiorze $Ω(X, a) / ˜$ klas homotopii (klas abstrakcji relacji homotopii) pętli zaczepionych w $a$ .

Grupą podstawową przestrzeni $X$ z wyróżnionym punktem $a$ nazwiemy zbiór klas homotopii $[\alpha] = \{\alpha'\colon \alpha' \in \Omega(X, a), \alpha \sim \alpha'\}$ z działaniem mnożenia $[\alpha][\beta] = [\alpha \star \beta]$ , operacją odwracania $[\alpha]^{-1} = [\overline \alpha]$ oraz elementem neutralnym $[\varepsilon_a]$ . Grupę tą oznaczymy symbolem $π 1 (X, a)$ .

[edytuj] Uwagi

Jeżeli $α˜α'$ oraz $β˜β'$ , to $\alpha \star \beta \sim \alpha' \star \beta'$ .
Dla $α,β,γ$ zachodzi $(\alpha \star \beta) \star \gamma \sim \alpha \star (\beta \star \gamma)$ .
Dla każdej pętli $α$ jest $\varepsilon_a \star \alpha \sim \alpha \star \varepsilon_a \sim \alpha$ oraz $\alpha \star \overline \alpha \sim \overline \alpha \star \alpha \sim \varepsilon_a$ .

[edytuj] Teoria kategorii

Jeśli przestrzenie topologiczne są homeomorficzne, to ich grupy podstawowe w punktach sobie odpowiadających są izomorficzne. Ta prawidłowość ma znaczenie w szerszym zakresie teorii, jak teoria grup homologii, kohomologii czy homotopii w wyższych wymiarach.

Na teorię grup podstawowych można patrzeć jako na przełożenie twierdzeń o przestrzeniach topologicznych i ich ciągłych odwzorowaniach na twierdzenia o grupach i ich homomorfizmach (z zachowaniem odpowiednich złożeń). Teoria grup podstawowych określa funktor przekształcający kategorię $\mathbf{Top}$ przestrzeni topologicznych i ich ciągłych odwzorowań w kategorię grup wraz z ich homomorfizmami $\mathbf{Gr}$ .

[edytuj] Przykłady

W $\mathbb{R}^n$ rozpatrzmy pętlę $f$ . Pętla ta jest równoważna pętli stale równej $0$ . Odpowiednią homotopią jest funkcja $H(x,t)=t\cdot f(x)$ , więc grupą podstawową przestrzeni $\mathbb R^n$ jest grupa trywialna, czyli złożona z elementu neutralnego.
Na okręgu (lub powierzchni bocznej walca) pętla jest całkowicie scharakteryzowana przez liczbę jej obiegów wokół tego okręgu, więc grupą podstawową wspomnianych przestrzeni jest nieskończona grupa cykliczna, czyli izomorficzna z grupą liczb całkowitych z dodawaniem.
Grupą podstawową torusa jest $\mathbb Z \times \mathbb Z$
Grupą podstawową pary okręgów stycznych jest grupa wolna o dwóch generatorach.
Grupą podstawową płaszczyzny rzutowej jest $\mathbb Z_2$ .

[edytuj] Łukowa spójność

Jeżeli przestrzeń $Y$ jest łukowo spójna, to dla dowolnych punktów $s, t \in Y$ grupy $π 1 (Y, s)$ oraz $π 1 (Y, t)$ są izomorficzne. Wówczas grupą podstawową przestrzeni $Y$ nazywa się grupę izomorficzną z $π 1 (Y, u)$ dla dowolnego $u \in Y$ i oznacza $π 1 (Y)$ .

Jeżeli przestrzeń $X$ również jest łukowo spójna, a przestrzenie $X$ oraz $Y$ są homotopijnie równoważne, to $\pi_1(X) \simeq \pi_1(Y)$ .

Dla przykładu, wstęga Möbiusa, okrąg i pobocznica walca mają te same grupy podstawowe.

[edytuj] Źródła

Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych.. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994.
S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol: Topologia I wykłady i zadania. skrypt, 2005.

[edytuj] Literatura

Richard H. Crowell, Ralph Hartzler Fox: Introduction to knot theory. Boston: Ginn and Co., 1963.
Samuel Eilenberg, Norman Steenrod: Foundations of Algebraic Topology. Princeton: 1952.

[edytuj] Zobacz też

Supersmukła piękność

Firma Panasonic wzbogaciła swą ofertę o nowy telewizor LCD.

Chińskie supermaszyny

W dziedzinie superkomputerów Chiny gonią świat.

Wkrótce nowy przerażający podstęp spamerów

Specjaliści ostrzegają przed nową kampanią spamową – internauci otrzymują listy elektroniczne zawierające informacje o porwaniu dziecka.

Komputery czułe na dotyk

Firma NEC wprowadziła ciekawe modele komputerów PC, które obsługuje się za pomocą dotykowego ekranu.

Król spamu zabił swoją rodzinę

Jeśli ktoś w Polsce ma wątpliwości, czy spamowanie jest przestępstwem...

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia