Grupa permutacji

Z Wikipedii

Grupa permutacji zbioru $X$ – grupa wszystkich bijekcji zbioru $X$ z działaniem składania jako mnożeniem i identycznością jako elementem neutralnym. Jest ona także nazywana grupą symetryczną.

Niektórzy autorzy używają nazwy grupa permutacji na określenie dowolnej podgrupy grupy wszystkich permutacji danego zbioru.

[edytuj] Oznaczenia

W literaturze matematycznej istnieje szereg różnych systemów oznaczeń używanych w kontekscie grup permutacji.

Gleichgewicht^[1] wprowadza symbol $S (X)$ na oznaczenie grupy wszystkich permutacji zbioru X. Gdy $X=\{1,2,\ldots,n\}$ , to zamiast $S (X)$ pisze on $S n$ . Ten ostatni symbol jest także używany przez Langa^[2] oraz Browkina ^[3] Natomiast Komorowski^[4] używa oznaczeń $Bij(X, X)$ , $Π(n)$ na $S (X)$ , $S n$ odpowiednio.

Wśród innych oznaczeń spotyka się również $\mathfrak{S}(X)$ , $Σ n$ oraz $Sym(X)$ . Ostatni rodzaj oznaczeń jest używany szczególnie w odniesieniu do zbiorów nieskończonych (i wtedy zwykle używa się nazwy grupa symetryczna').

[edytuj] Przykłady

Gdy $X = {0,1}$ , mamy tylko dwie permutacje zbioru $X$ : $0 \mapsto 0, 1 \mapsto 1$ (identycznościowa) oraz $0 \mapsto 1, 1 \mapsto 0$ (transpozycja). Jeśli $X = {0,1,2}$ , to mamy już 6 permutacji.

[edytuj] Zastosowania

Grupy permutacji okazały się szczególnie pomocne przy badaniu rozwiązywalności równań algebraicznych.
Dla każdej liczby naturalnej n, rząd (liczba elementów) grupy $S n$ jest równy n!.
Dla $n > 2$ grupa $S n$ nie jest przemienna, a dla $n > 4$ nie jest rozwiązalna.
Zachodzi tzw. twierdzenie Cayleya: każdą grupę można utożsamiać z podgrupą pewnej grupy permutacji.

Przypisy

↑ Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 35-37. ISBN 83-01-03903-5
↑ Lang, Serge: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973. Strona 70.
↑ Browkin, Jerzy: Teoria Ciał. Biblioteka Matematyczna Tom 49. Państwowe Wydawnictow Naukowe, Warszawa 1978. Strona 37 i kolejne.
↑ Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tenssorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strony 2-3.

[edytuj] Zobacz też

Fragmenty gekona sprzed 100 mln lat w bursztynie

Fragmenty gekona sprzed 100 mln lat zamknięte w bursztynie odkryli naukowcy ze Stanów Zjednoczonych i Wielkiej Brytanii. O swoim odkryciu informują na łamach naukowego pisma "Zootaxa".

Największy eksperyment w historii nauki

Za kilka dni, 10 września, rusza największy eksperyment w historii nauki. W Alpach, pod granicą szwajcarsko-francuską schowano tunel o obwodzie 27 kilometrów. Nazwano go Wielkim Zderzaczem Hadronów i naukowcy wierzą, że eksperymenty tam przeprowadzone dadzą odpowiedź na najbardziej fundamentalne pytania o wszechświat. Obszerny opis eksperymentu znajdziemy w "Magazynie "Dziennika".

Kurhany na Wyżynie Sandomierskiej

Wygląda jak niepozorny pagórek, czasem oznaczony kilkoma przewróconymi głazami. Kiedy rolnicy obrabiają swoje pola, często zahaczają o niego, a jeśli głazy da się odsunąć - zrównują z ziemią. Czasem orka odsłania kamienne bloki, rzadziej odkrywa szkielety pochowanych tu ludzi. Zdarza się jednak, że kurhan, czyli nasyp nad pradawnym grobowcem, opiera się działaniu czasu. Wówczas archeolodzy mogą zająć się jego ochroną lub zbadać.

Bezpieczne sposoby leczenia cukrzycy

Poziom leczenia cukrzycy w Polsce jest raczej średni, ale wielu powikłaniom można zapobiec właściwie przyjmując leki - powiedział prof. Edward Franek ze Szpitala klinicznego MSWiA na konferencji prasowej, zorganizowanej przez Urząd Rejestracji Produktów Leczniczych, Wyrobów Medycznych i Produktów Biobójczych.

Czysta woda bez narkotyków

Nowoczesne metody oczyszczania wody pitnej stanowią doskonała barierę eliminującą zawarte w niej pierwotnie psychoaktywne substancje chemiczne np. kokainę, amfetaminę, kofeinę czy nikotynę (oraz ich pochodne), donosi "Environmental Science & Technology".

Linki: Strona g��wna

[0] Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 35-37. ISBN 83-01-03903-5

[1] Lang, Serge: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973. Strona 70.

[2] Browkin, Jerzy: Teoria Ciał. Biblioteka Matematyczna Tom 49. Państwowe Wydawnictow Naukowe, Warszawa 1978. Strona 37 i kolejne.

[3] Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tenssorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strony 2-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

Encyklopedia