Grupa wolna - Google

Grupa wolna

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Spis treści

Grupa wolna – grupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak st − 1 = su − 1ut − 1, gdzie s,t,u należą do takiego podzbioru).

Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy układem wolnych generatorów grupy (lub bazą grupy).

[edytuj] Definicja formalna

Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę F nazywamy wolną, gdy zawiera podzbiór X \subseteq F\, taki, że każde przekształcenie X\, w dowolną grupę G\, można przedłużyć jednoznacznie do homomorfizmu f\colon F \to G\,.

Można udowodnić, że każdy taki zbiór X\, musi być układem generatorów grupy F\,, tzn. nie ma podgrupy F' \subseteq F\, spełniącej X \subseteq F'\, i F' \ne F\,.

Układem generatorów grupy jest opisany wyżej zbiór X\,. Każde dwa układy generatorów są równoliczne) – moc dowolnego z nich nazywa się rangą grupy wolnej.

[edytuj] Własności

  • Każda grupa wolna o randze wiÄ™kszej od 1 ma nieskoÅ„czenie wiele ukÅ‚adów wolnych generatorów.
  • Każda grupa G\, jest obrazem ustalonego homomorfizmu h\, pewnej grupy wolnej F\,.
  • Jeżeli H = \ker h\,, to obraz ukÅ‚adu wolnych generatorów grupy F\, tworzy ukÅ‚ad generatorów grupy G\,.
  • UkÅ‚adem relacji dla tych generatorów nazywamy ukÅ‚ad równaÅ„ taki, że f(k) = e\,, gdzie k \in H\, sÄ… generatorami H\, (e\, oznacza element neutralny grupy). Wskazanie ukÅ‚adu generatorów i ukÅ‚adu relacji jednoznacznie wyznacza grupÄ™ G\,.
  • Grupa wolna o randze wiÄ™kszej od 1 nie jest abelowa.

[edytuj] Przykłady

  • Grupa liczb caÅ‚kowitych z dodawaniem jest jest grupÄ… wolnÄ… rangi 1. Jej ukÅ‚adem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
  • Rozpatrzmy wszystkie skoÅ„czone napisy skÅ‚adajÄ…ce siÄ™ z liter l, p, L, P \, w których nie wystÄ™pujÄ… pary [l,p], [p,l], [L.P], [P,L]\;. DziaÅ‚aniem niech bÄ™dzie konkatenacja napisów z ewentualnym usuniÄ™ciem zakazanych par czyli np.:
    • llPl*Pl=llPlPl\;
    • llPl*lPl=llPllPl\;
    • llPp*lP=llPP\;
    • llPl*pL=ll\;
    • llPl*pLpp=\varnothing czyli ciÄ…g pusty.
tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.: {l,L} . Elementem odwrotnym do l jast p; odwrotnym do L jest P. Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter \langle l,\ L\rangle oraz \langle p,\ P\rangle. Elementem neutralnym - ciąg pusty.

[edytuj] Zobacz też


Zalążek artykuÅ‚u To jest tylko zalążek artykuÅ‚u zwiÄ…zanego z matematykÄ…. JeÅ›li potrafisz, rozbuduj go.

Panią poseł zajęła... erotyka u Żeromskiego
Maszyna do farbowania i suszenia włóczki punktowo, związki erotyczne Stefana Żeromskiego... Co mają ze sobą wspólnego te dwa, jakże dalekie od siebie, tematy? Otóż właśnie dzięki nim posłanki PO Bożena Bukiewicz i Joanna Butryn zdobyły tytuł magistra. O tematach prac magisterskich parlamentarzystów pisze "Wprost".
Rekordowa suma do zgarnięcia za "szóstkę"
Podczas sobotniego losowania Dużego Lotka nie padła ani jedna wygrana pierwszego stopnia. Oznacza to, że w kolejnym losowaniu, we wtorek pula pieniędzy przeznaczonych na główną wygraną wyniesie 35 milionów złotych.
"ZabolaÅ‚a ich porażka; kto nie jest z nami ten jest »ukÅ‚ad«?"
Napieralski odpiera zarzuty posłów PO o kłamstwa. - Zabolała ich porażka. Myśleli, że SLD zagłosuje za bublem prawnym tylko po to, żeby zamienić Urbańskiego na Dworaka. Teraz słyszę, że Napieralski ułożył się z prezydentem - pisze na swoim blogu w Onet.pl Grzegorz Napieralski, przewodniczący Sojuszu Lewicy Demokratycznej.
"Napieralski jest gałganem i hipokrytą, który kłamie"
- Platforma Obywatelska nie będzie prowadziła już żadnych rozmów z SLD w sprawie ustawy medialnej - powiedział wicemarszałek Sejmu Stefan Niesiołowski.
"GW": nie prowadzimy nagonki na posłów PiS
"Gazeta Wyborcza" nie prowadzi nagonki na posłów PiS Jacka Kurskiego i Zbigniewa Wassermanna. Wydaje się, że wyroki w procesach między "Gazetą" a nimi były sprawiedliwe - uważa z-ca redaktora naczelnego "Gazety" Piotr Pacewicz.
Linki: Strona g³ówna