Hermitowska miara spektralna - Google

Hermitowska miara spektralna

Z Wikipedii

Hermitowska miara spektralna (albo hermitowski rozkład jedynki) - w analizie funkcjonalnej, dokładniej w analizie spektralnej, przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele zbiorów borelowskich pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych pewnej przestrzeni Hilberta, spełniająca określone warunki. Hermitowskie miary spektralne pojawiają się w sformułowaniu twierdzenia spektralnego.

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, $\mathcal{B}(X)$ oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz $L (H)$ oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta $H$ .

Funkcję $E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H)$ nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni $X$ (albo hermitowskim rozkładem jedynki) wtedy i tylko wtedy, gdy:

$E (B)$ jest operatorem samosprzężonym dla $B\in \mathcal{B}(X)$ .
$E (X) = I$ ,
$E(B_1\cap B_2)=E(B_1)\circ E(B_2),\; B_1, B_2\in \mathcal{B}(X)$
Funkcja $B\mapsto E(B)x,\; x\in H,\; B\in \mathcal{B}(X)$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

[edytuj] Własności

Niech $E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H)$ będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej $X$ .

$(E(B)x|x)=\|E(B)x\|^2$ dla $B\in\mathcal{B}(X)$ .
Jeżeli $B_1,B_2\in\mathcal{B}(X)$ są rozłączne, to $E(B_1)H\perp E(B_2)H$ oraz $\|E(\cdot)x\|(X)=\|x\|,\; x\in H$ .
Dla każdej ograniczonej funkcji borelowskiej $g\colon X\to\mathbb{C}$ operator

$\Omega(g)x=\int\limits_Xg(\lambda)E(d\lambda)x$

jest liniowy i ciągły, a jeżeli $g(X)\subseteq\mathbb{R}$ , to także samosprzężony. Ponadto

$\|\Omega(g)\|\leq\sup\{|g(\lambda)|\colon \lambda\in X\},\;\;\|\Omega(g)\|^2=\int\limits_X|g(\lambda)|^2\|E(d\lambda)x\|^2,\; x\in H$

oraz $\Omega(g_1,g_2)=\Omega(g_1)\circ\Omega(g_2)$ dla $g_1,g_2\colon X\to \mathbb{C}$ ograniczonych funkcji borelowskich.

Jeśli $X$ jest zwartą przestrzenią metryczną oraz $E 1, E 2$ są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów $\lambda_1,\lambda_2\in X$ istnieje funkcja ciągła $f\colon X\to \mathbb{R}$ , że $f(\lambda_1)\neq f(\lambda_2)$ oraz

$\int\limits_X f(\lambda)E_1(d\lambda)x=\int\limits_X f(\lambda)E_2(d\lambda)x,\; x\in H$ , to

E 1 = E 2

[edytuj] Przykład

Załóżmy, że przestrzeń Hilberta $H$ jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tej przestrzeni. Dalej, niech $K\subset\mathbb{R}$ będzie zbiorem zwartym oraz $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że:

$\mbox{cl}\{\lambda_n\colon n\in\mathbb{N}\}=K\neq \{\lambda_n\colon n\in\mathbb{N}\}$ .

Wówczas operator $\Lambda\colon H\to H$ dany wzorem

$\Lambda x=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n(x|e_n)e_n$

jest operatorem samosprzężonym oraz jego widmo $σ(Λ) = K$ . Funkcja $E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H)$ dana wzorem

$E(B)x=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbf{1}_B(\lambda_n)(x|e_n)e_n,\; x\in H$ ,

gdzie $\mathbf{1}_{\cdot}$ oznacza funkcję charakterystyczną, jest hermitowską miarą spektralną oraz

$\Lambda x=\int\limits_{\sigma(\Lambda)}\lambda E(d\lambda)x,\; x\in H$ .

[edytuj] Literatura

Krzysztof Maurin: Methods of Hilbert Spaces. Warszawa: PWN, 1972.

Segment pism dla rodziców zanotował wzrost sprzedaży

Wszystkie miesięczniki dla rodziców zanotowały w lutym br. wyższą sprzedaż ogółem w porównaniu z lutym ub.r. – wynika z danych Związku Kontroli Dystrybucji Prasy.

Zawitkowski nowym naczelnym "Dziewczyny"

Robert Zawitkowski będzie redaktorem naczelnym miesięcznika młodzieżowego "Dziewczyna" (Axel Springer Polska).

Minister skarbu państwa chce kuratora sądowego Polskiego Radia

Minister skarbu państwa Aleksander Grad zwrócił się do sądu o ustanowienie kuratora Polskiego Radia. Chce w ten sposób przeciwdziałać paraliżowi we władzach spółki.

TVN24 wyrusza na Euro 2008 helikopterem

Komentatorami rozgrywek Euro 2008 w TVN24 będą Jan Tomaszewski i Olaf Lubaszenko. Do obsługi mistrzostw Europy w piłce nożnej stacja wykorzysta też śmigłowiec Błękitny 24, który poleci do Austrii.

Polsat News ruszy 1 czerwca i z brytyjską koncesją

Kanał informacyjny Polsatu wystartuje 1 czerwca br. i będzie nadawał z brytyjską koncesją – dowiedział się "Presserwis".

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia