Hipoteza Riemanna

Z Wikipedii

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1

Wykres części rzeczywistej i urojonej funkcji dzeta Riemanna dla s = 0,5 + i * t.

Hipoteza Riemanna to sformułowana w 1859 roku hipoteza dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce obok hipotezy Goldbacha. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (nierzeczywiste) tej funkcji mają część rzeczywistą równą $\frac{1}{2}$ , tj. $\Re(s) = \frac{1}{2}$ . Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki - w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Clay Mathematics Institute ufundował nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów za dowód lub obalenie hipotezy Riemanna. Hipoteza Riemanna jest 8. problemem z listy problemów Hilberta.

[edytuj] Sformułowanie hipotezy

Dla $\Re(s) > 1$ funkcja dzeta przedstawia się wzorem:

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Dzeta Riemanna ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, ... . Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej $\Re(s) = \frac{1}{2}$ zwanej prostą krytyczną. G. H. Hardy oraz J. E. Littlewood udowodnili, że jest ich tam nieskończenie wiele. Zostało również udowodnione, że przynajmniej 40% miejsc zerowych leży na prostej krytycznej (Conrey 1989).

[edytuj] Hipoteza Riemanna a teoria liczb

Prawdziwość hipotezy Riemanna pozwalałaby na wzmocnienie pewnych nierówności dotyczących liczb pierwszych oraz równości asymptotycznych. Okazuje się na przykład, że hipoteza Riemanna jest równoważna poniższej równości (π(n) to liczba liczb pierwszych w przedziale od 1 do n) będącej wzmocnieniem twierdzenia o liczbach pierwszych:

$\pi(n) = \mathrm{Li}(n) + O\left(\sqrt{n} \ln n\right)$

gdzie do zapisu użyto tzw. dużego O.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

MathWorld - Hipoteza Riemanna

Ponieważ to hasło związane z matematyką ma formę zaledwie zalążkową, pomóż nam je rozbudować, o ile dysponujesz odpowiednimi źródłami.
Prosimy, zapoznaj się najpierw z zasadami oraz zaleceniami edytowania Wikipedii.

Polscy sportowcy piszą blogi o Pekinie

Po raz pierwszy w historii igrzysk olimpijskich sportowcy mogą prowadzić blogi w czasie trwania zawodów. Z możliwości tej korzystają także Polacy.

Będzie "Spiegel" dla dzieci

Niemieckie wydawnictwo Spiegel Verlag planuje wprowadzenie na rynek magazynu opinii dla dzieci – podał serwis "Werben und Verkaufen".

Mniejsze zarobki Murdocha

W roku finansowym zakończonym 31 czerwca br. magnat medialny Rupert Murdoch zarobił 27 mln dol. To o ponad 14 proc. mniej niż w ub.r. fiskalnym.

Piątkowska wydawcą w TVN Warszawa

Katarzyna Piątkowska została wydawcą kanału TVN Warszawa.

Agora finalizuje rozmowy z Superstacją

Ryszard Krajewski, prezes Superstacji, poinformował wczoraj zespół, że część udziałów w stacji kupi Agora SA.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia