Z Wikipedii

Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania

Homeomorfizm – ciągła funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednej przestrzeni topologicznej w drugą będąca otwartą (lub równoważnie domkniętą).

[edytuj] Intuicje

Dwie przestrzenie topologiczne, które są homeomorficzne (czyli istnieje między nimi homeomorfizm), są w topologii uważane za topologicznie równoważne, czyli rozpatrywane jako obiekty jednej klasy (por. klasa abstrakcji). Jednym z zadań topologii jest badanie niezmienników i homeomorfizmów, czyli tych własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy przekształceniach homeomorficznych. Z tego względu wspomniane niezmienniki homeomorfizmów nazywane są również niezmiennikami topologicznymi.

W przestrzeniach euklidesowych (takich jak prosta, płaszczyzna, czy przestrzeń trójwymiarowa z metryką euklidesową) o homeomorfizmie można myśleć jako o przekształceniu, które pozwala na dowolne rozciąganie, wyginanie, skręcanie obiektu, jednak zabrania „robienia w nim dziur”, „rozrywania go”, czy też „sklejania”.

[edytuj] Definicja formalna

Funkcję przestrzeni topologicznej (X,τ_X) w przestrzeń topologiczną (Y,τ_Y) jest homeomorfizmem, gdy:

• f jest funkcją różnowartościową,
• f(X) = Y, czyli f jest funkcją "na",
• oba przekształcenia f oraz są ciągłe.

[edytuj] Uwagi

• Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
• Ciągła bijekcja może nie być homeomorfizmem, gdyż warunek ciągłości funkcji odwrotnej nie musi być zachowany.

[edytuj] Przykłady

• W poniższym przykładzie litery i cyfry w każdej grupie są homeomorficzne, symbole z różnych grup homeomorficzne nie są (A jest homeomorficzne tylko z R, B tylko z 8 i tak dalej).

Zauważmy, że wszystkie litery znajdujące się w trzeciej grupie powstały przez zwykłe wygięcie odcinka (por. krzywa).

• Podobnie okrąg jest homeomorficzny z kwadratem lub trójkątem, lecz nie z odcinkiem.
• Analogicznie odcinek otwarty (bez końców) jest homeomorficzny z całą prostą. W tym przypadku łatwo wskazać odpowiedni homeomorfizm na przedział ( − 1,1), po czym pozostaje odpowiednie jego umieszczenie na osi za pomocą przekształcenia afinicznego, będącego również homeomorfizmem.

[edytuj] Sprzężenie topologiczne

Dwa homeomorfizmy nazwiemy topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm , nazywany homeomorfizmem sprzęgającym, że

[edytuj] Zanurzenie homeomorficzne

Przekształcenie nazywamy zanurzeniem homeomorficznym, jeśli jest złożeniem homeomorfizmu i zanurzenia, tj. jeśli istnieją podprzestrzeń L przestrzeni Y oraz homeomorfizm taki, że . Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni X w Y, to mówimy, że X jest zanurzalna w Y.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• hipoteza Poincarégo,
• dyfeomorfizm,
• izomorfizm,
• morfizm.