Iloczyny grup

Z Wikipedii

Spis treści

1 Iloczyn kartezjański
2 Iloczyn prosty
3 Iloczyn półprosty
4 Bibliografia
5 Zobacz też
6 Linki zewnętrzne

Iloczyny (produkty) grup – w teorii grup są to sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

[edytuj] Iloczyn kartezjański

Zobacz więcej w osobnym artykule: iloczyn kartezjański.

Niech $\{G_i\colon i \in I\}$ będzie rodziną grup, każda o zapisie multyplikatywnym. O zbiorze indeksów założymy, że $I$ jest co najwyżej przeliczalny. Rozważmy zbiór

$\prod_{i \in I} G_i = G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n \times \dots = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)\colon g_i \in G_i, i \in I\}$

z działaniem

$(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)(h_1, h_2, \dots, h_n, \dots) \overset\underset\mathrm{def}\ = (g_1 h_1, g_2 h_2, \dots, g_n h_n, \dots)$ .

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

elementem neutralnym jest $e = (e_1, e_2, \dots, e_n, \dots)$ , gdzie $e i$ jest elementem neutralnym grupy $G i$ dla każdego $i \in I$ ,
elementem odwrotnym do elementu $g = (g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)$ jest $g^{-1} = (g_1^{-1}, g_2^{-1}, \dots, g_n^{-1}, \dots)$ .

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem $\prod_{i \in I} G_i$ .

[edytuj] Iloczyn prosty

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup $G i$ określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup $\prod_{i \in I} G_i$ określonego równością

$\coprod_{i \in I} G_i \overset\underset\mathrm{def}\ = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)\colon \exists_m\; \forall_{i > m}\; g_i = e_i\}$ .

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako suma prosta właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

[edytuj] Uwagi

Jeżeli $I = \{1, 2, \dots, n\}$ jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis $G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n$ .

Jeżeli jednak $I = \mathbb N$ jest zbiorem przeliczalnym, a $G i$ są nietrywialne dla nieskończenie wielu $i \in I$ , to $\coprod G_i < \prod G_i$ .

[edytuj] Suma prosta

Jeżeli rozważamy grupy $A i$ z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

$\bigoplus_{i \in I} A_i = A_1 \oplus A_2 \oplus \dots$ .

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych $G = H \oplus K = K \oplus H$ . Jest również łączny w sensie, że jeżeli $G = H \oplus K$ oraz $K = L \oplus M$ , to $G = H \oplus (L \oplus M) = H \oplus L \oplus M$ .

Jeżeli $G = H \oplus K$ , to można udowodnić, że:

dla dowolnych $h \in H,\; k \in K$ zachodzi $h + k = k + h$ ,
dla dowolnych $g \in G$ istnieją jednoznacznie wyznaczone $h \in H,\; k \in K$ takie, że $g = h + k$ ,
zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. $(H \oplus K)/K$ jest izomorficzna z $H$ .

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

[edytuj] Przykłady

grupa wektorów na płaszczyźnie euklidesowej o współrzędnych rzeczywistych z dodawaniem jest iloczynem prostym grupy liczb rzeczywistych z dodawaniem przez samą siebie.

[edytuj] Iloczyn półprosty

Niech będą dane grupy $N$ i $D$ oraz homomorfizm $\varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N$ grupy $D$ w grupę automorfizmów grupy $N$ .

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup $N$ i $D$ za pośrednictwem $\varphi$ , oznaczanym $N \rtimes_{\varphi} D$ , nazywa się grupę składająca się z elementów $(n, d),\; n \in N, d \in D$ wraz z działaniem określonym wzorem

$(n_1, d_1)(n_2, d_2) = \left(n_1 \varphi_{d_1}(n_2), d_1 d_2\right)$

oraz odwrotnością daną przez

$(n, d)^{-1} = \left(\varphi_{d^{-1}}(n^{-1}), d^{-1}\right)$ ,

i elementem neutralnym

(e,1)

gdzie $e \in N$ oraz $1 \in D$ są elementami neutralnymi.

[edytuj] Iloczyn półprosty wewnętrzny

Niech $N$ będzie podgrupą normalną w $G$ . Dopełnieniem normalnym $D$ podgrupy $N$ w $G$ nazywamy zbiór spełniający warunki $N \cap D = \{e\}$ oraz $N D = G$ (równoważnie $D N = G$ ).

Grupę $G$ nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup $N$ i $D$ , co oznacza $N \rtimes D$ wtedy i tylko wtedy, gdy $D$ jest dopełnieniem normalnym $N$ .

Swoją nazwę iloczyn ten zawdzięcza faktowi, iż w iloczynie półprostym homomorfizm $\varphi$ jest postaci $D \to \operatorname{Inn}\; N$ , a więc w grupę automorfizmów wewnętrznych grupy $N$ ; innymi słowy: zachodzi $N \rtimes_\varphi D = G$ dla $\varphi_d(n) = dnd^{-1}$ , czyli sprzężenia $n$ przez $d$ .

[edytuj] Uwagi

$N \rtimes_\varphi D \equiv N \times D$ wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm $\varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N$ jest trywialny.
$N \rtimes_\varphi D$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy $N, D$ są przemienne oraz $\varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N$ jest trywialny.

[edytuj] Przykłady

Grupa diedralna rzędu $2 n$ jest iloczynem półprostym wewnętrznym $D_{2n} = \mathbb Z_n \ltimes \mathbb Z_2$ .
Grupa izometrii przestrzeni $\mathbb R^n$ jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.

[edytuj] Bibliografia

Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

Bojanowska, Traczyk, Algebra, skrypt

Ponieważ treść tego artykułu ma formę zaledwie zalążkową, pomóż nam ją rozbudować, o ile dysponujesz odpowiednimi źródłami.

Prosimy, zapoznaj się najpierw z zasadami oraz zaleceniami edytowania Wikipedii.

ME-2012 - kolejna wizytacja UEFA w Polsce

W Polsce w tym tygodniu przebywała kolejna delegacja Europejskiej Federacji Piłkarskiej (UEFA), badająca przygotowania do organizacji mistrzostw Europy w 2012 roku. Tym razem przedmiotem wizytacji była infrastruktura komunikacyjna.

Kolumbijska policja przechwyciła 11 mln sfałszowanych euro

Kolumbijska policja skonfiskowała w Bogocie 11 milionów sfałszowanych euro - poinformował Europol.

Prezes nowej Alitalii negocjuje z Air France i Lufthansą

Prezes Włoskiego Towarzystwa Lotniczego (Compania Aerea Italiana), które powoła do życia nową Alitalię, Roberto Colannino, powiedział, że do zrealizowania tego zamiaru "nieodzowny" jest zagraniczny wspólnik i dlatego prowadzi on rozmowy z Air France-KLM i Lufthansą.

Spółka Lotosu sfinalizowała kupno 10% udziałów w 4 koncesjach wydobywczych

Spółka Lotos Exploration and Production Norge sfinalizowała kupno 10% udziałów w czterech koncesjach wydobywczych na Morzu Północnym, poinformowała Grupa Lotos w piątek. Wartość transakcji 52,5 mln USD zostanie powiększona o kwotę ok. 12 mln USD wynikającą z poniesionych już nakładów inwestycyjnych, a także o ok. 65 mln USD przyszłych nakładów, związanych z uruchomieniem produkcji.

Eksperci: Polska nie jest przygotowana na odcięcie dostaw gazu z Rosji

Polska nie jest przygotowana na ewentualne odcięcie dostaw gazu przez Rosję - uważają eksperci paliwowi, z którymi rozmawiała PAP. Według zagranicznych mediów, Rosja może ograniczyć dostawy paliw do Europy Zachodniej w odpowiedzi na groźby sankcji ze strony UE, w związku z konfliktem w Gruzji.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia

Iloczyny grup

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Iloczyn kartezjański

[edytuj] Iloczyn prosty

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Suma prosta

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Iloczyn półprosty

[edytuj] Iloczyn półprosty wewnętrzny

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne