Interpolacja (matematyka)

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy metody numerycznej. Zobacz też: inne znaczenia słowa interpolacja.

Interpolacja – metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego.

Spis treści

1 Definicja
2 Interpolacja wielomianowa
- 2.1 Funkcje sklejane
3 Funkcje trygonometryczne
4 Funkcje wymierne

[edytuj] Definicja

Niech dany będzie przedział $[a, b] \subseteq \mathbb R$ oraz niech będzie dany skończony ciąg punktów $(x_k)_{k=0}^n$ z tego przedziału,

$a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ .

Wyrazy $x_0,\ldots,x_n$ powyższego ciągu nazywane będą węzłami.

Przypuśćmy także, że zadane są wartości $y_k \in {\mathbb R}$ dla $k = 0, 1, \ldots, n$ . Pary $(x k, y k)$ nazywa się punktami pomiarowymi.

Funkcję $f$ określoną na przedziale $[a, b]$ nazywamy funkcją interpolacyjną (również interpolującą) określoną w zadanych węzłach jeśli

f (x k) = y k

dla wszystkich $k=0,\ldots,n$ .

Jeśli dana jest funkcja $\varphi:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R}$ oraz $y_k = \varphi(x_k)$ dla każdego $k = 0, 1, \dots, n$ , to funkcja interpolująca punkty pomiarowe $(x k, y k)$ (dla $k=0,\ldots,n$ ) może być nazwana interpolacją funkcji $\varphi$ w węzłach $x_0,\ldots,x_n$ .

Na funkcję interpolującą $f$ nakłada się różne warunki prowadzące do różnych zadań interpolacyjnych i tak, jeśli zażądamy aby f była określonej klasy, to mówimy wówczas o interpolacji funkcjami tej klasy.

[edytuj] Interpolacja wielomianowa

Interpolacja liniowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: Interpolacja wielomianowa.

Interpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange'a a jej podstawą jest twierdzenie, że

Dla danych

n + 1

punktów pomiarowych istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej n interpolujący te punkty.

Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa, zadanie interpolacji dla dwóch węzłów $x 0$ i $x 1$ . Rozwiązaniem w klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty $(x 0, f (x 0))$ i $(x 1, f (x 1)$ (por. rysunek).

[edytuj] Funkcje sklejane

Zobacz więcej w osobnym artykule: Interpolacja funkcjami sklejanymi.

Błąd interpolacji można zmniejszać poprzez zwiększanie liczby węzłów, jednak prowadzi to do dość szybkiego wzrostu złożoności obliczeniowej zadania, a spadek błędu nie jest pewny (efekt Rungego). Ponieważ wielomiany są funkcjami dość regularnymi nie nadają się zbytnio do przybliżania funkcji nieregularnych na większych przedziałach. Z tego powodu wybiera się interpolację wielomianami niskiego stopnia, jednak dzieli się przedział interpolacji na mniejsze i na każdym z nich przeprowadza niezależnie interpolację. Aby poprawić przybliżenie nakłada się dodatkowe warunki gładkości na brzegach podziałów, zwykle zgodność pochodnych stopnia o jeden mniejszego niż stopień użytych do interpolacji wielomianów, co wraz z ustalonymi warunkami brzegowymi daje jednoznaczność rozwiązania zadania.

[edytuj] Funkcje trygonometryczne

Zobacz więcej w osobnym artykule: Interpolacja trygonometryczna.

Interpolacja trygonometryczna służy przede wszystkim przybliżaniu funkcji okresowych. Idea stojąca za tą interpolacją jest następująca: wielomiany z powodu braku okresowości powodują duże błędy podczas przybliżeń funkcji okresowych, z tego względu używa się zamiast nich funkcji funkcji trygonometrycznych mających charakter okresowy.

[edytuj] Funkcje wymierne

Zobacz więcej w osobnym artykule: Interpolacja wymierna.

Przestrzegamy Niemców przed rewizjonizmem

- Przestrzegamy zaprzyjaźniony naród niemiecki przed rewizjonizmem, głoszonym przez szefową Związku Wypędzonych Eriką Steinbach - tak rzecznik polskiego MSZ Piotr Paszkowski skomentował sobotnie wystąpienie Steinbach. Szefowa Związku Wypędzonych powiedziała, że miliony Niemców tuż przed wysiedleniem były zmuszane do przymusowej pracy - także przez Polaków.

Saakaszwili: Rosja niebezpieczna dla sąsiadów

Po inwazji na Gruzję Rosja może podjąć podobne działania wobec innych krajów regionu - ostrzegł w niedzielę gruziński prezydent Micheil Saakaszwili w wywiadzie dla czeskiej telewizji publicznej.

Tragiczny wypadek autokaru w Chorwacji

14 osób zginęło, a 30 zostało rannych w niedzielę w katastrofie słowackiego autobusu w Chorwacji na autostradzie z Zagrzebia do Splitu - poinformowały chorwackie media.

Wygooglają nas z kosmosu

W sobotę z amerykańskiej bazy Vandenberg w Kalifornii wystartował GeoEye-1 - dysponujący najdokładniejszą wśród komercyjnych satelitów aparaturą służącą do fotografowania ziemi. Wszystko po to, by Google Maps dysponował jeszcze lepszymi zdjęciami.

Szef MSZ będzie walczył z Merkel

Szef niemieckiego MSZ Frank-Walter Steinmeier będzie przeciwnikiem Angeli Merkel w walce o fotel kanclerza w przyszłorocznych wyborach parlamentarnych - poinformowano na zamkniętym posiedzeniu kierownictwa SPD w brandenburskim Werder. Czy mało znany jeszcze cztery lata temu polityk zostanie nowym kanclerzem?

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia