Klasa (matematyka)

Z Wikipedii

Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność którą posiadają wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.

Wiele obiektów w matematyce jest "za dużych" aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.

[edytuj] Przykłady

Przykłady klas:

Klasa wszystkich zbiorów: mówienie o zbiorze wszystkich zbiorów prowadzi do antynomii (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), dlatego wszystkie zbiory tworzą klasę właściwą.
Klasa wszystkich liczb porządkowych: mówienie o zbiorze wszystkich liczb porządkowych prowadzi do antynomii (paradoks Burali-Forti), dlatego liczby porządkowe tworzą klasę właściwą.
Klasa wszystkich liczb nadrzeczywistych - jest to nadklasa klasy wszystkich liczb porządkowych.
Klasy obiektów dużych kategorii, np. Top - kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych.
Uniwersum konstruowalne.

[edytuj] Klasy jako formuły

Klasy można traktować jako nieformalne obiekty wyznaczone przez formuły języka teorii mnogości. Podejście takie jest przyjmowane np w monografii Thomasa Jecha^[1]. W książce tej, dla formuły $\varphi(x,y_1,y_2,\ldots,y_n)$ o zmiennych wolnych zawartych wśród $x,y_1,y_2,\ldots,y_n$ oraz parametrów $p_1,\ldots,p_n$ , wprowadza się klasę definiowaną przez $\varphi$ z parametrów $p_1,\ldots,p_n$ jako ${\mathbf C}=\{x:\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)\}$ . Tak więc dla klasy ${\mathbf C}$ zdefiniowanej przez $\varphi$ z parametrów $p_1,\ldots,p_n$ mamy

$x\in {\mathbf C}$ wtedy i tylko wtedy gdy $\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)$ .

Klasy ${\mathbf C},{\mathbf D}$ zdefiniowane przez $\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)$ , $\psi(x,q_1,\ldots,q_m)$ (odpowiednio) są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają te same elementy, czyli gdy

$(\forall x)(\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)\ \Leftrightarrow\ \psi(x,q_1,\ldots,q_m))$

Przy tym podejściu, wprawdzie wykonujemy różne operacje na klasach czy też rozważamy różne relacje między nimi, klasy są tożsame z formułami je definiującymi. Każde użycie klasy może być zastąpione przez odwołanie do formuły ją definiującej.

[edytuj] Teoria klas Kelleya-Morse'a

John L. Kelley^[2] zaproponował podejście sformalizowane trochę inaczej przez Anthony Morse'a^[3] i rozważane też przez Johna von Neumanna, a znane dzisiaj jako teoria klas Kelleya-Morse'a. Jest to teoria w języku ${\mathcal L}(\in)$ ; obiekty nazywane są klasami, a klasy które są elementami innych klas nazywane są też zbiorami (tak więc " $x$ jest zbiorem" jest formułą $(\exists y)(x\in y)$ ). Klasy które nie są zbiorami nazywane są klasami właściwymi.

W literaturze przedmiotu spotyka się kilka zestawów aksjomatów określanych jako aksjomaty teorii klas Kelleya-Morse'a. Różnice między rozważanymi aksjomatykami mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być róźne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (należy zwrócić uwagę że w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

Aksjomat extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe).
Dla każdej formuły $\varphi$ języka ${\mathcal L}(\in)$ wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów które spełniają tę formułę:

$\Big(\exists y\Big)\Big(\forall x\Big)\Big(x\in y\ \Leftrightarrow\ ((\exists z)(x\in z)\ \wedge\ \phi(x))\Big)$ .

Akjomat pary (dla każdych zbiorów $x, y$ istnieje zbiór ${x, y}$ którego jedynymi elementami są x i y).
Klasa C jest klasą właściwą wtedy i tylko wtedy gdy istnieje bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru A, klasa wszystkich podzbiorów zbioru A jest zbiorem.
Aksjomat sumy: suma zbioru zbiorów jest zbiorem.
Aksjomat nieskończoności:

$\Big(\exists w\in {\mathbf V}\Big)\Big(\emptyset \in w\ \wedge\ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w)\Big)$

Aksjomat regularności:

$\Big(\forall x\Big)\Big(x\neq\emptyset\ \Rightarrow\ (\exists y\in x)(y\cap x=\emptyset)\Big)$ .

Teoria ta istotnie rozszerza teorię ZFC.

Wojciech Guzicki i Paweł Zbierski opierają swój wykład teorii mnogości^[4] na zbliżonej aksjomatyce.

[edytuj] Teoria klas NBG

Aksjomatyzacja teorii mnogości zaproponowana przez von Neumanna, rozwinięta przez Paula Bernaysa a następnie uproszczona przez Kurta Gödla znana jest dzisiaj jako aksjomatyka NBG. Występują w niej dwa rodzaje obiektów (klasy i zbiory) i relacja należenia

$x\in y$

jest określona tylko wtedy gdy $x$ jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka róźnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być róźne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (należy zwrócić uwagę że w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe).
Dla każdej formuły $\varphi$ w której nie ma kwantyfikowania po klasach wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów które spełniają tę formułę.
Akjomat pary (dla każdych zbiorów $x, y$ istnieje zbiór ${x, y}$ którego jedynymi elementami są x i y).
Dla każdej klasy C,

istnieje zbiór c taki że $(\forall x) (x \in c \Leftrightarrow x \in {\mathbf C})$ wtedy i tylko wtedy gdy

nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.

Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru x, istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów x.
Aksjomat sumy: dla każdego zbioru x istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów elementów zbioru x.
Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór w taki że

$\emptyset \in w\ \wedge\ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w)$

Aksjomat regularności: w każdej niepustej klasie C można znaleźć element x rozłączny z tą klasą.

Teoria NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZFC (tzn zdania w języku ZFC są dowodliwe w ZFC wtedy i tylko wtedy gdy są one dowodliwe w NBG).

Przypisy

↑ Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2
↑ Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6
↑ Morse, Anthony: A Theory of Sets. Academic Press, New York 1965.
↑ Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.

Unikalny cmentarz ugrofiński

Archeolodzy odkryli w okolicach miasta Suzdal w Rosji unikalne miejsce pochówku członków plemienia Ugrofinów, pochodzące z początków I tysiąclecia n.e. - donosi serwis internetowy icRussia.

Soczewki kontaktowe z elektroniką

Opracowano prototyp nowoczesnych soczewek kontaktowych, w których wnętrzu zatopiony jest układ elektroniczny oraz diody LED. Jest to przysłowiowy "kamień milowy" dla dziedziny nauki, która zajmuje się miniaturyzacją układów scalonych, donosi "LaserFocusWorld".

Groźny detoks

Pewna Brytyjka doznała uszkodzeń mózgu po poddaniu się tzw. diecie "detoks", która wymagała picia dużych ilości płynów.

Pod lodami Arktyki 90 mld baryłek ropy

90 mld baryłek ropy i ilość gazu równa całym znanym jego zasobom w Rosji - na tyle oceniają amerykańscy eksperci rządowi zasoby Arktyki. Ich szacunki opisał w czwartek "Financial Times".

Twoje piersi tego nie lubią!

Kobiety, które noszą źle dobrane biustonosze, niszczą sobie piersi - alarmują naukowcy.

Linki: Strona g��wna

[0] Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2

[1] Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6

[2] Morse, Anthony: A Theory of Sets. Academic Press, New York 1965.

[3] Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.

[1]

[2]

[3]

[4]

Encyklopedia