Klasa monotoniczna

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Klasa monotoniczna to obiekt studiowany w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości i teorii miary.

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Klasa monotoniczna a inne obiekty matematyczne
- 1.2 Definicje pomocnicze
2 Twierdzenia dotyczące klas monotonicznych
3 Przykłady
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niepustą rodzinę zbiorów $\mathfrak{M}$ nazywamy klasą monotoniczną wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathfrak{M}$ dla każdego ciągu $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ zbiorów z klasy $\mathfrak{M}$ , spełniającego warunek: $A_n \subset A_{n+1}, n\in\mathbb{N}$
$\bigcap_{n=1}^{\infty}B_n\in\mathfrak{M}$ dla każdego ciągu $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ zbiorów z klasy $\mathfrak{M}$ , spełniającego warunek: $B_{n+1} \subset B_{n}, n\in\mathbb{N}$ .

[edytuj] Klasa monotoniczna a inne obiekty matematyczne

Każde σ-ciało jest klasą monotoniczną. Każde ciało, które jest klasą monotoniczną jest także σ-ciałem.

[edytuj] Definicje pomocnicze

Przyjmijmy nastepującą definicję: Jeśli $\mathcal{X}$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X$ , to:

$\sigma(\mathcal{X})\stackrel{\rm{df}}{=}\bigcap\{\mathfrak{M}\subset 2^X\colon \mathcal{X}\subset \mathfrak{M},$ $\mathfrak{M}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $X \big\}$

$M(\mathcal{X})\stackrel{\rm{df}}{=}\bigcap\{\mathfrak{M}\subset 2^X\colon \mathcal{X}\subset \mathfrak{M},$ $\mathfrak{M}$ jest klasą monotoniczną podzbiorów zbioru $X \big\}$

Jeśli $A$ jest zbiorem, a $\mathcal{X}$ jest klasą zbiorów, to $\mathcal{X} |_A\stackrel{\rm{df}}{=}\{X\cap A\colon X\in\mathcal{X}\}$ .

[edytuj] Twierdzenia dotyczące klas monotonicznych

Jeśli $\mathfrak{N}$ jest ciałem, to $\sigma(\mathfrak{N})=M(\mathfrak{N})$ .

[edytuj] Przykłady

Jako przykład klasy monotonicznej, może podać przykład dowolnego σ-ciała.

[edytuj] Zobacz też

Monzon przeszedł z Boca Juniors do Realu Betis

21-letni argentyński piłkarz Luciano Fabian Monzon, dotychczas obrońca Boca Juniors Buenos Aires, podpisał na najbliższe pięć sezonów kontrakt z klubem hiszpańskiej ekstraklasy Realem Betis.

"Czerwone Diabły" pokonane, Superpuchar dla Zenitu!

W spotkaniu o Superpuchar Europy Zenit Sankt Petersburg po znakomitej grze pokonał Manchester United 2:1 (1:0).

Złota Liga: rekord świata juniorek na 800 m

Pamela Jelimo pobiła rekord świata juniorek w biegu na 800 m w przedostatnim tegorocznym mityngu z cyklu Złotej Ligi.

Niemcy: cenne zwycięstwo beniaminka

Piłkarze FC Koeln wygrali z Karlsruher SC 2:0 (0:0) w pierwszym meczu 3. kolejki ligi niemieckiej.

US Open: Federer odprawił kolejnego rywala

Rozstawiony z numerem drugim Roger Federer bez kłopotu pokonał Brazylijczyka Thiago Alvesa 6:3, 7:5, 6:4 i awansował do trzeciej rundy wielkoszlemowego turnieju tenisowego US Open (z pulą nagród 20,657 mln dol.) rozgrywanego na twardych kortach w Nowym Jorku.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia