Kombinacja liniowa

Z Wikipedii

(Przekierowano z Kombinacja liniowa wektorów)

Brak wersji przejrzanej

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwaga
2 Przykłady
3 Powłoka liniowa
4 Inne powiązane pojęcia
5 Uogólnienia
6 Zobacz też

Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.

[edytuj] Definicja

Niech $\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}$ będą elementami przestrzeni liniowej $V$ nad pewnym ciałem, a $a_1, a_2, \dots a_n$ będą elementami tego ciała. W dalszej części elementy należące do $V$ nazywane będą często wektorami, a elementy ciała $K$ będą zwane nieraz skalarami.

Kombinacją liniową wektorów $\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}$ o współczynnikach $a_1, a_2, \dots a_n$ nazywa się wektor

$a_1\mathbf{v_1} + a_2\mathbf{v_2} + \dots + a_n\mathbf{v_n}$ .

Niekiedy wspomina się o kombinacji liniowej wektorów nie wymieniając jej współczynników. Dla danego zbioru $S$ można też mówić o kombinacji liniowej wektorów ze zbioru $S$ , wówczas nie wymienia się wprost ani wektorów, ani współczynników. Ostatecznie można mówić o kombinacji liniowej w ogólności, gdy nie stawia się żadnych wymagań ponad założone na początku, gdzie wektory i współczynniki są dowolne.

[edytuj] Uwaga

Z definicji wynika, że kombinacja liniowa obejmuje tylko skończenie wiele wektorów (poza przypadkami opisanymi w sekcji Uogólnienia).

Jednakże sam zbiór $S$ , z którego brane są wektory (o ile został wspomniany), może być nieskończony; każda kombinacja liniowa z osobna składać się będzie ze skończenie wielu wektorów. Nie ma także powodów, aby $n$ nie mogło być zerem; w tym wypadku przyjmuje się, że wtedy kombinacją liniową jest wektor zerowy w $V$ .

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Geometria analityczna

Niech $K$ będzie ciałem $\mathbb R$ liczb rzeczywistych, a przestrzeń liniowa $V$ będzie przestrzenią euklidesową $\mathbb R^3$ . Rozpatrzmy wektory

$\mathbf{e_1} := (1, 0, 0),\; \mathbf{e_2} := (0, 1, 0)$ oraz $\mathbf{e_3} := (0, 0, 1)$ .

Wówczas dowolny wektor z $\mathbb R^3$ jest kombinacją liniową wektorów $\mathbf{e_1, e_2, e_3}$ .

Aby się o tym przekonać, należy wziąć dowolny wektor $(a 1, a 2, a 3)$ z $\mathbb R^3$ ; wtedy:

$\begin{align} (a_1 , a_2 , a_3) & = (a_1, 0, 0) + (0, a_2, 0) + (0, 0, a_3) \\ & = a_1 (1, 0, 0) + a_2 (0, 1, 0) + a_3 (0, 0, 1) \\ & = a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} + a_3 \mathbf{e_3} \end{align}$

[edytuj] Analiza funkcjonalna

Niech $V$ będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych o wartościach zespolonych $C(\mathbb R, \mathbb C)$ .

Rozważmy wektory (funkcje) $f, g$ określone wzorami

$f(t) := e^{it}, \quad g(t) := e^{-it}$ ,

gdzie $e$ jest postawą logarytmu naturalnego, a $i$ to jednostka urojona.

Niektóre z kombinacji liniowych $f$ oraz $g$ :

$\cosh t = \tfrac12 e^{it} + \tfrac12 e^{-it}$ ,

2sin t = - i e i t + i e - i t

.

Z drugiej strony funkcja stała równa $3$ nie jest kombinacją liniową $f$ i $g$ . Aby się o tym przekonać, należy założyć, że $3$ może być zapisane jako kombinacja liniowa $e i t$ oraz $e - i t$ . Oznacza to, że istniałyby wówczas skalary zespolone $a, b$ takie, że

a e i t - b e - i t = 3

dla wszystkich liczb rzeczywistych $t$ . Podstawienia $t = 0$ i $t = π$ dają jednak równania $a + b = 3$ oraz $a + b = - 3$ , co prowadzi do sprzeczności.

[edytuj] Geometria algebraiczna

Niech $K$ będzie dowolnym ciałem, a $V$ będzie zbiorem $P$ wszystkich wielomianów o współczynnikach z tego ciała. Rozważmy wektory (wielomiany)

$p_1 := 1, \quad p_2 := x + 1, \quad p_3 := x^2 + x + 1$ .

Czy wielomian $x 2 - 1$ jest kombinacją liniową $p 1, p 2, p 3$ ? Rozpatrzmy dowolną kombinację liniową tych wektorów i sprawdźmy, kiedy równa się ona żądanemu wektorowi $x 2 - 1$ .

Wybrawszy dowolnie współczynniki $a 1, a 2, a 3$ chcemy uzyskać

a 1 (1) + a 2 (x + 1) + a 3 (x 2 + x + 1) = x 2 - 1

,

wymnożenie wielomianów daje równość

(a 1) + (a 2 x + a 2) + (a 3 x 2 + a 3 x + a 3) = x 2 - 1

,

zaś zgrupowanie wg potęg $x$ daje tożsamość

a 3 x 2 + (a 2 + a 3) x + (a 1 + a 2 + a 3) = 1 x 2 + 0 x + ( - 1)

.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie w nich współczynniki są sobie równe, a więc

$a_3 = 1, \quad a_2 + a_3 = 0, \quad a_1 + a_2 + a_3 = -1$ .

Jedynym rozwiązaniem tego układu równań liniowych jest trójka

$a_1 = -1, \quad a_2 = -1, \quad a_3 = 1$ .

Stąd jest to jedyny możliwy sposób uzyskania kombinacji liniowej za pomocą tych współczynników. Rzeczywiście,

x 2 - 1 = - 1 - (x + 1) + (x 2 + x + 1) = - p 1 - p 2 + p 3

,

a więc $x 2 - 1$ jest kombinacją liniową wektorów $p 1, p 2, p 3$ .

Co zaś z wielomianem $x 3 - 1$ ? Chcąc uzyskać ten wektor jako kombinację liniową $p 1, p 2, p 3$ należy powtórzyć powyższe rozumowanie otrzymując tym samym równanie

0 x 3 + a 3 x 2 + (a 2 + a 3) x + (a 1 + a 2 + a 3) = 1 x 3 + 0 x 2 + 0 x + ( - 1)

.

W tym przypadku przyrównanie odpowiadających sobie współczynników da zawsze fałszywą równość

0 = 1

.

Stąd nie można przedstawić $x 3 - 1$ jako kombinacji liniowej wektorów $p 1, p 2, p 3$ .

[edytuj] Powłoka liniowa

Dla danego ciała $K$ oraz przestrzeni liniowej $V$ niech $\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}$ będą wektorami (z $V$ ). Interesujące może być rozpatrywanie wszystkich kombinacji liniowych tych wektorów. Zbiór ten nazywa się powłoką liniową lub otoczką liniową tych wektorów. Niech $S = \{\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}\}$ , wówczas powłokę liniową $S$ oznacza się $\operatorname{span}(S)$ lub $\operatorname{lin}(S)$ :

$\operatorname{span}(\mathbf{v_1, \dots, v_n}) := \{a_1\mathbf{v_1} + \dots + a_n\mathbf{v_n}\colon a_1, \dots, a_n \in K \}$ .

Wyżej opisany zbiór jest najmniejszą (w sensie zawierania) podprzestrzenią liniową w $V$ . Z tego powodu nazywa się ją także podprzestrzenią generowaną przez zbiór $S$ lub rozpiętą na zbiorze $S$ . Sam zbiór $S$ nazywa się też niekiedy zbiorem rozpinającym lub generującym tę przestrzeń.

[edytuj] Inne powiązane pojęcia

Czasami dany wektor można za pomocą wektorów $\mathbf{v_1, v_2, \dots, v_n}$ zapisać na dwa różne sposoby. Wówczas mówi się, że są one liniowo zależne, w przeciwnym wypadku nazywa się je liniowo niezależnymi. Podobnie można mówić o liniowej zależności bądź niezależności dowolnego zbioru wektorów $S$ .

Jeżeli $S$ jest układem wektorów liniowo niezależnych i rozpina całą przestrzeń $V$ , to nazywa się go bazą tej przestrzeni.

O kombinacjach liniowych można myśleć jako o najogólniejszych możliwych operacjach na przestrzeni liniowej. Podstawowe operacje dodawania i mnożenia przez skalar, wraz z istnieniem elementu neutralnego i odwrotnych dodawania, nie mogą być połączone w bardziej skomplikowany sposób niż w kombinacji liniowej. Ostatecznie fakt ten tłumaczy użyteczność kombinacji liniowych podczas studiowania przestrzeni liniowych.

Innym związanym pojęciem jest kombinacja afiniczna, która jest kombinacją liniową z dodatkowym ograniczeniem, aby współczynniki $a_1, \dots, a_n$ sumowały się do jedności. Jeżeli nałoży się z kolei warunek, aby wszystkie współczynniki były dodatnie, to uzyska się pojęcie kombinacji stożkowej. Oba te ograniczenia nałożone na kombinację liniową na raz dają definicję kombinacji wypukłej.

[edytuj] Uogólnienia

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną, to może istnieć sposób na sensowne określenie nieskończonych kombinacji liniowych za pomocą topologii w $V$ . Przykładowo, być może można mówić o sumie

$a_1 \mathbf{v_1} + a_2 \mathbf{v_2} + a_3 \mathbf{v_3} + \dots$

ciągnącej się w nieskończoność. Takie kombinacje liniowe są sensowne; nazywa się je zbieżnymi, jeśli takie są. Rozpatrywanie większej liczby kombinacji liniowych może prowadzić w tym przypadku do różnych definicji powłoki liniowej, liniowej niezależności i bazy. Artykuły opisujące przestrzenie liniowo-topologiczne traktują o nich bardziej szczegółowo.

Jeżeli $K$ jest pierścieniem przemiennym, nie zaś ciałem, to wszystko, co zostało napisane wyżej, uogólnia się do tego przypadku bez żadnych zmian. Jedyną różnicą jest, iż przestrzenie $V$ nazywa się wtedy modułami, a nie przestrzeniami liniowymi.

Jeżeli $K$ jest pierścieniem nieprzemiennym, to pojęcie to nadal uogólnia się z jednym zastrzeżeniem: ponieważ moduły nad pierścieniami nieprzemiennymi mogą być lewostronne bądź prawostronne, a więc i kombinacje liniowe mogą być takie, zależnie od rozpatrywanego modułu. Jest to tylko sprawa brania mnożenia skalarnego z właściwej strony.

Bardziej skomplikowanym jest przypadek, gdy $V$ jest bimodułem nad dwoma pierścieniami $K L$ oraz $K P$ . W tym wypadku najogólniejsza kombinacja liniowa ma postać

$a_1 \mathbf{v_1} b_1 + \dots + a_n \mathbf{v_n} b_n$ ,

gdzie $a_1, \dots, a_n$ należą do $K L$ , a $b_1, \dots, b_n$ należą do $K P$ , zaś $\mathbf{v_1, \dots, v_n}$ należą do $V$ .

[edytuj] Zobacz też

Obama zamierza stworzyć 2,5 mln miejsc pracy

Amerykański prezydent-elekt Barack Obama oświadczył w sobotę, iż zamierza w ciągu pierwszych dwóch lat kadencji stworzyć 2,5 mln miejsc pracy.

APEC: wolny handel pozwoli zwalczyć kryzys

Przywódcy państw Azji i obu Ameryk, uczestniczący w szczycie państw regionu w Limie, uznali w sobotę, że wolny handel i reformy międzynarodowych instytucji kredytowych pozwolą światu na uniknięcie głębszego kryzysu.

"Bogate kraje wykupują ziemię w krajach biednych"

Rządy i narodowe korporacje z bogatych państw wykupują miliony hektarów ziemi uprawnej w krajach rozwijających się, by zapewnić sobie dostawy żywności w dłuższym okresie - pisze w sobotnim wydaniu brytyjski dziennik "The Guardian".

Berlusconi: nadchodzi kryzys, który może być bardzo głęboki

Premier Włoch Silvio Berlusconi po raz pierwszy ostrzegł swych rodaków, że nadchodzi kryzys, który - jak dodał - może być "bardzo głęboki".

Szczyt APEC: przywódcy 21 państw radzą w Limie jak pokonać kryzys

Przywódcy 21 krajów z regionu Azji i Pacyfiku, którzy rozpoczynają w sobotę wieczorem (czasu polskiego) dwudniowe obrady w Limie, uznają zagrożenie dla świata, jakie stanowi obecny kryzys gospodarczy.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia