Kombinacja z powtórzeniami

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.

permutacja

kombinacja bez powtórzeń
kombinacja z powtórzeniami

wariacja bez powtórzeń
wariacja z powtórzeniami

liczby Bella
liczby Catalana
liczby Stirlinga
liczby Eulera

zasada szufladkowa Dirichleta
zasada włączeń i wyłączeń

Ten szablon: pokaż • dyskusja • edytuj

Kombinacja z powtórzeniami (pojęcie matematyczne), to każdy multizbiór którego elementami są elementy jakiegoś zbioru skończonego. k-elementową kombinacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy multizbiór składający się z elementów zbioru A. W odróżnieniu do kombinacji bez powtórzeń tu elementy mogą się powtarzać.

Liczba k-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

$\overline{C} _n^k = {n+k-1 \choose k} =\frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$

[edytuj] Przykład

Liczba kombinacji 2-elementowych z powtórzeniami zbioru 4-elementowego A = {a, b, c, d} jest równa $\begin{matrix} {5! \over 2! \cdot 3!} = {120 \over 12}=10 \end{matrix}$ . Można je wymienić: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a,a}, {b,b}, {c,c}, {d,d}. Kolejność nie ma tutaj znaczenia, równie dobrze można napisać {c,d}, jak {d,c}.

[edytuj] Pochodzenie wzoru

Jeżeli rozważymy zbiór $\{ 1, 2, \dots n \}$ , to każdą jego k-elementową kombinacje da się uporządkować tak, by jej elementy $a_1, a_2, \dots a_k$ spełniały zależność:

$1\le a_1 \le a_2 \le \dots \le a_{k-1} \le a_k \le n$

co w liczbach naturalnych (wraz z zerem) równoważne jest kolejno

$0 < a_1 < a_2 +1 < \dots < a_{k-1} + k-2 < a_k + k-1 < n+k$

oraz, po zamianie współczynników

$0 < b_1 < b_2 < \dots < b_{k-1} < b_k < n+k$

Ilość rozwiązań w takiego równania dla $b_1, \dots, b_k \in \mathbb{N}$ jest równa ilości k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru $n + k - 1$ -elementowego, czyli ${n+k-1 \choose k}$ ^[1]

[edytuj] Przypisy

↑ Donald Knuth, The Art of Computer Programming, tom I

[edytuj] Zobacz też

Parlament zostaje. Do czwartku

Kryzys polityczny na Ukrainie przedłuża się. Wbrew oczekiwaniom, prezydent Wiktor Juszczenko nie zarządził rozwiązania jednoizbowej Rady Najwyższej, ale utrzymał perspektywę przedterminowych wyborów. Urzeczywistnienie tego scenariusza spodziewane jest teraz w czwartek.

Rosja przenosi wojska do Osetii Płd i Abchazji

Ruszyła operacja wycofania wojsk z tzw. strefy buforowej, którą Rosja arbitralnie ustanowiła wokół dwóch zbuntowanych republik gruzińskich. Świadkowie potwierdzają, że kolumna 50-60 rosyjskich pojazdów opuszczała bazę Urta w pobliżu Zugdidi w zachodniej Gruzji, kierując się w stronę Abchazji - donosi Reuters.

Obama prezydentem? "Prawie na pewno"

- Obama prawie na pewno zostanie prezydentem USA i będziemy mieli przed sobą bardzo trudny i bardzo, w cudzysłowie, ciekawy okres - tak amerykanista, profesor Zbigniew Lewicki komentował wyścig do fotela prezydenta, po kolejnym starciu kandydatów.

Rosyjscy nacjonaliści w obronie Jaruzelskiego

"Ręce precz od Jaruzelskiego" - pod tym hasłem odbędzie się środowa pikieta rosyjskich nacjonalistów przed budynkiem polskiej ambasady w Moskwie. Działacze Euroazjatyckiego Związku Młodzieży uważają, że sąd nad generałem jest zapowiedzią "NATO-wskiej i amerykańskiej agresji przeciwko Rosji".

Katastrofa lotnicza pod Mount Everest

18 osób zginęło podczas nieudanego lądowania niewielkiego samolotu pasażerskiego na lotnisku u stóp Himalajów w Nepalu. Większość spośród ofiar to niemieccy turyści - podają lokalne media.

Linki: Strona g��wna

[0] Donald Knuth, The Art of Computer Programming, tom I

[1]

Encyklopedia