Komutator

Z Wikipedii

(Przekierowano z Komutator (operatorów))

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego terminu.

Spis treści

1 Teoria grup
- 1.1 Tożsamości
2 Teoria pierścieni
- 2.1 Tożsamości
- 2.2 Przykład
3 Pierścienie i algebry z gradacją
4 Różniczkowania
5 Komutator w fizyce
6 Antykomutator
7 Zobacz też
8 Źródła

Komutator – w matematyce wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

[edytuj] Teoria grup

Komutator dwóch elementów $g$ i $h$ należących do grupy $G$ to element

[g, h] = g - 1 h - 1 g h

.

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy $g$ i $h$ komutują (czyli są przemienne, tzn. $g h = h g$ ). Podgrupa grupy $G$ generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy $G$ . Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga

Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

[g, h] = g h g - 1 h - 1

.

[edytuj] Tożsamości

W tej sekcji wyrażenie $g x$ oznacza sprzężony (przez $x$ ) element $x - 1 g x$ .

$[y, x] = [x, y] - 1$ .
$\left[[x, y^{-1}], z\right]^y \cdot \left[[y, z^{-1}], x\right]^z \cdot \left[[z, x^{-1}], y\right]^x = 1$ .
$[x y, z] = [x, z]^y \cdot [y, z]$ .
$[x, y z] = [x, z] \cdot [x, y]^z$ .

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga: Powyższa definicja sprzężenia $g$ przez $x$ używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie $g$ przez $x$ jako $x a x - 1$ , zwykle zapisuje się to jako $x g$ .

[edytuj] Teoria pierścieni

Komutator dwóch elementów $a$ i $b$ pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

[a, b] = a b - b a

.

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są przemienne (komutują). W algebrze liniowej jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

[edytuj] Tożsamości

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

$[A, A] = 0$ ,
$[A, B] = - [B, A]$ ,
$[A,[B, C]] + [B,[C, A]] + [C,[A, B]] = 0$ .

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

$[A, B C] = [A, B] C + B [A, C]$ ,
$[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B$ ,
$[A, B C] = [A B, C] + [C A, B]$ ,
$[A B C, D] = A B [C, D] + A [B, D] C + [A, D] B C$ ,
$[[[A, B], C], D] + [[[B, C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C],[B, D]]$ .

Jeżeli $A$ jest ustalonym elementem pierścienia $\mathfrak R$ , pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania $D_A\colon R \to R$ danego wzorem $B \mapsto [A, B]$ . Innymi słowy, odwzorowanie $D A$ definiuje różniczkowanie w pierścieniu $\mathfrak R$ .

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Cambella-Hausdorffa:

$e^{A}B e^{-A} = B + [A, B] + \tfrac{1}{2!}[A, [A, B]] + \tfrac{1}{3!} [A, [A, [A, B]]] + \dots$ .

[edytuj] Przykład

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy $\operatorname{d}$ , który przekształca funkcję w jej pochodną oraz $\operatorname{x}$ , który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej $F$ przebiega jak następuje:

$\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) = \operatorname{dx}\;F + \operatorname{xd}\;F = F + \operatorname{xd}\;F$ , ponieważ $\operatorname{dx} = 1$ ,
$\operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = \operatorname{xd}\;F$ .

Odjęcie tych równań stronami daje:

$\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) - \operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = F + \operatorname{xd}\;F - \operatorname{xd}\;F$ ,

$\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) - \operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = F$ .

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez $F$ jest

$(\operatorname{dx} - \operatorname{xd})F = F$ ,

$(\operatorname{dx} - \operatorname{xd}) = 1$ , czyli $[\operatorname{d}, \operatorname{x}] = 1$ .

Stąd wynik zastosowania obu operatorów $\operatorname{d}$ i $\operatorname{x}$ na funkcję $F$ zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

[edytuj] Pierścienie i algebry z gradacją

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako $[ω,η] g r : = ωη - ( - 1) degωdegη ηω$ .

[edytuj] Różniczkowania

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

$\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y]$ .

Wówczas $\operatorname{ad}(x)$ jest różniczkowaniem, a $\operatorname{ad}$ jest liniowe, np. $\operatorname{ad}(x + y) = \operatorname{ad}(x) + \operatorname{ad}(y)$ oraz $\operatorname{ad}(\lambda x) = \lambda \operatorname{ad}(x)$ i homomorfizmem algebry Liego, np. $\operatorname{ad}([x, y]) = [\operatorname{ad}(x), \operatorname{ad}(y)]$ , ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość $\operatorname{ad}(xy) = \operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)$ w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

$\operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(x)(y) = \left[x, [x, y]\right]$ .
$\operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(a+b)(y) = \left[x, [a + b, y]\right]$ .

[edytuj] Komutator w fizyce

Komutator jest często używany fizyce kwantowej:

W mechanice kwantowej procedura kwantowania kanonicznego polega na zastąpieniu nawiasów Poissona są zastępowane komutatorami, tzn. $[\operatorname{X}, \operatorname{P}] = \operatorname{XP}-\operatorname{PX} = i\hbar$ , gdzie $\operatorname X$ oraz $\operatorname P$ stają się operatorami w przestrzeni Hilberta. Konsekwencją wprowadzenia takich reguł komutacyjnych jest zasada nieoznaczoności Heisenberga.
W procedurze drugiej kwantyzacji (stosowanej dla układów wielu cząstek) wprowadzane są operatory kreacji i anihilacji cząstek, które w przypadku bozonów spełniają reguły komutacji, a fermionów antykomutacji.
W definicjach funkcji Greena stosowane są komutatory dla bozonów oraz antykomutatory dla fermionów.

[edytuj] Antykomutator

Antykomutator ${a, b}$ lub $[a, b] +$ definiowany jest jako $[a, b] + = a b + b a$ . Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus $[a, b] -$ .

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermionach). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, co związane jest z zakazem Pauliego mówiącym, że dany stan nie może być obsadzony przez dwie różne cząstki, tzn. $[a, a] + = 0 = a a + a a$ .

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym $[\cdot, \cdot]_\pm$ odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Źródła

David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics. Wyd. drugie. Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X.
Liboff, Richard L.: Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5.

Belgia podwyższa gwarancje na depozyty bankowe do 100 tys. euro

Belgia postanowiła we wtorek podwyższyć pułap gwarancji na depozyty bankowe do 100 tysięcy euro - zapowiedział minister finansów Didier Reynders po spotkaniu z pozostałymi ministrami finansów Unii Europejskiej w Luksemburgu.

Szef Fed sugeruje obniżkę stopy procentowej, Wall Street mocno spada

Prezes Zarządu Rezerwy Federalnej, Ben Bernanke, dał do zrozumienia, że Fed może wkrótce obniżyć stopę procentową, aby ożywić gospodarkę USA, przeżywającą kryzys wskutek załamania się systemu finansowego. Na Wall Street piątek przyniósł dalszy ciąg dużych spadków.

Austria podniesie gwarancje na depozyty bankowe do 100 tys. euro

Austria zamierza podnieść gwarancje na depozyty bankowe z 20 tys. euro do 100 tys. - zapowiedział we wtorek austriacki minister finansów Wilhelm Molterer po spotkaniu z pozostałymi ministrami finansów Unii Europejskiej w Luksemburgu. Taka propozycja zostanie przedstawiona w środę austriackiej radzie ministrów.

Bush jest pewien sukcesu planu ratunkowego

Prezydent Stanów Zjednoczonych zapewnił obywateli swego kraju, że zaakceptowany plan ratunkowy pomoże wyjść z kryzysu finansowego. George Bush uważa również, że poprawa sytuacji w Ameryce pozytywnie wpłynie na światowe rynki i sytuacje na giełdach.

Fed: zmniejsza się ryzyko związane z inflacją

Członkowie Rady Rezerw Federalnych (Fed) stwierdzili, że ryzyko inflacyjne w gospodarce jest coraz mniejsze - napisano w minutes po posiedzeniu Fed 16 września 2008 roku.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia

Komutator

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Teoria grup

[edytuj] Tożsamości

[edytuj] Teoria pierścieni

[edytuj] Tożsamości

[edytuj] Przykład

[edytuj] Pierścienie i algebry z gradacją

[edytuj] Różniczkowania

[edytuj] Komutator w fizyce

[edytuj] Antykomutator

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Źródła