Z Wikipedii

W teoriach relatywistycznych (szczególnej teorii względności, ogólnej teorii względności, elektrodynamice, relatywistycznej mechanice kwantowej) stosuje się specjalne konwencje związane z indeksami występującymi we wzorach.

[edytuj] Konwencja sumacyjna

Skrócony zapis dodawania, gdzie w pewnej sytuacji pomijamy znak dodawania .

[edytuj] Numery wymiarów

Wymiarowi czasowemu najczęściej przypisuje się liczbę 0 (czyli jest to zerowy a nie czwarty wymiar) a wymiarom przestrzennym - wartości 1,2,3. Czasem rozważa się także przestrzenie o większej ilości wymiarów; używamy wówczas liczb od 4 wzwyż na ich oznaczenie.

[edytuj] Indeksy greckie

Indeksy oznaczane literami alfabetu greckiego (μ ν, τ itp.) przebiegają wszystkie możliwe indeksy wymiarów, czyli najczęściej {0,1,2,3}. Czasem, gdy rozważamy przestrzenie więcej-wymiarowe, wskaźniki te przebiegają dodatkowe wartości.

p_μ,x_ν - składowe kowariantne czterowektorów pędu i położenia

g^μν - składowe kontrawariantne tensora metrycznego

[edytuj] Indeksy łacińskie

Indeksy oznaczane literami alfabetu łacińskiego (i, j, k, itp.) przebiegają zbiór wartości {1,2,3}. Obiekty indeksowane w ten sposób są obiektami trójwymiarowymi. Przykład:

p_i,x_i - przestrzenne składowe pędu i położenia

T_ij - przestrzenna część tensora napięć-energii, czyli tensor napięć

[edytuj] Tensor metryczny

Tensor metryczny danej przestrzeni przyjęło oznaczać się literą g.

[edytuj] Podnoszenie/opuszczanie wskaźników

Zobacz więcej w osobnym artykule: podnoszenie i opuszczanie wskaźników.

Uznaje się, że wielkości oznaczane tym samym symbolem ze wskaźnikami u góry i u dołu powiązane są wzorami:

V_μ = g_μνV^ν

V^μ = g^μνV_ν

Czyli mnożymy odpowiednie wielkości przez tensor metryczny. Z oczywistych względów nie można zastosować takiej konwencji do samego tensora metrycznego. Zamiast tego, składowe tensora metrycznego wiąże wzór:

g^μν = (g_μν) ^{− 1}

Gdzie symbol oznacza branie macierzy odwrotnej.

[edytuj] Pochodna czÄ…stkowa i kowariantna

W wielu teoriach operacja pochodnej cząstkowej nie daje w wyniku tensora. Zamiast tego, trzeba na bazie pochodnej cząstkowej zdefiniować nową pochodną kowariantną. Stosuje się wtedy najczęściej następujące oznaczenia:

w teorii względności:

pochodna cząstkowa - przecinek: V_,μ

pochodna kowariantna - średnik: V_;μ

w mechanice kwantowej:

pochodna czÄ…stkowa - stylizowana delta:

pochodna kowariantna - duża litera D:

w mechanice klasycznej:

pochodna cząstkowa - przecinek: V_,μ

pochodna kowariantna - nabla: