Z Wikipedii

Kostka Mengera, obraz wygenerowany metodÄ… iteracji IFS

Kostka Mengera, gąbka Mengera – bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi:

log₃20 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,726833.

Konstrukcja kostki została podana przez austriackiego matematyka Karla Mengera w roku 1927.

[edytuj] Konstrukcja

Kostka Mengera powstaje w następujący sposób:

1. Dany jest sześcian
2. Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian
3. Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian znajdujący się w jego środku
4. Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostkę Mengera.

Sześcian

1. iteracja

2. iteracja

3. iteracja

4. iteracja

[edytuj] Własności

Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego. Przekątna kostki jest zbiorem Cantora. Kostka jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, a jej miara Lebesgue'a jest równa 0.

[edytuj] Definicje formalne

[edytuj] Definicja rekurencyjna

Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące:

gdzie M₀ oznacza szeÅ›cian {(x,y,z) : 0 ≤ x,y,z ≤ 1}

[edytuj] Definicja nierekurencyjna

Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób nie używając rekurencji:
Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów (x,y,z) takich, że 0 ≤ x,y,z ≤ 1 i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych x,y,z w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.

[edytuj] Zobacz też

• piramida SierpiÅ„skiego,
• przeglÄ…d zagadnieÅ„ z zakresu matematyki.

Zobacz galeriÄ™ na Wikimedia Commons:
Kostka Mengera

[edytuj] Linki zewnętrzne

• Prosty model kostki Mengera