Kowariancja - Google

Kowariancja

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Kowariancja - \operatorname{cov}(X,Y)\ - to liczba określająca zależność liniową między zmiennymi losowymi X i Y.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Matematycznie kowariancjÄ™ definiuje siÄ™ wzorem:

\operatorname{cov}(X,Y) = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}X) \cdot (Y-\mathrm{E}Y)]\ .

Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:

\operatorname{cov}(X,Y) = \mathrm{E}(X \cdot Y) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\
gdzie: \mathrm{E}\ jest wartością oczekiwaną.

[edytuj] Interpretacja

Jeżeli między zmiennymi losowymi X i Y nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa, a istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0.

Innymi słowy: zmienne losowe X i Y są niezależne, a więc

\mathrm{E}(X \cdot Y)=\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y,

zatem:

\operatorname{cov}(X,Y) = \mathrm{E}(X \cdot Y) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0\

Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.

Na przykład, jeśli populacją byłby przedział liczb rzeczywistych t\; z zakresu od 0 do 2π, a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:

X=\sin t\;
Y=\cos t\;

to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy \operatorname{cov}(X,Y)=0.

[edytuj] Związek ze współczynnikiem korelacji

Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:

\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{corr}(X,Y)\sigma_X\sigma_Y

gdzie:

  • \operatorname{corr}(X,Y) to współczynnik korelacji pomiÄ™dzy zmiennymi X i Y
  • \sigma_X\; to odchylenie standardowe zmiennej X\;
  • \sigma_Y\; to odchylenie standardowe zmiennej Y\;

[edytuj] Zobacz też


Lotos PKO BP przed EuroligÄ… koszykarek
Koszykarki Lotosu PKO BP środowym wyjazdowym meczem z ROS Casares Walencja rozpoczynają kolejny sezon gry w Eurolidze. Zdaniem Pauliny Pawlak hiszpański zespół to jeden z dwóch najgroźniejszych w "gdyńskiej" grupie.
Kadra piłkarek ręcznych na turniej w Rotterdamie
Pod wodzą nowego trenera - Krzysztofa Przybylskiego, wyrusza do Holandii na międzynarodowy turniej reprezentacja Polski piłkarek ręcznych. W kadrze znalazły się tylko cztery zawodniczki grające na co dzień w klubach zagranicznych.
Poważna kontuzja znanego skoczka
W najbliższych dniach srebrny (2005) i brązowy (2006) medalista mistrzostw świata konkursu drużynowego w skokach narciarskich Niemiec Georg Spaeth podda się operacji lewego kolana. Na skoczni pojawi się dopiero na wiosnę 2009 roku.
Armstrong wystartuje w Giro d'Italia
Siedmiokrotny zwycięzca Tour de France Lance Armstrong wystartuje w przyszłym roku po raz pierwszy w karierze w Giro d'Italia.
PlusLiga: startuje ekstraklasa siatkarek
Broniąca tytułu mistrza Polski siatkarek Muszynianka-Fakro Muszyna oraz BKS Aluprof Bielsko-Biała są, w opinii fachowców, faworytkami startujących w sobotę rozgrywek PlusLigi Kobiet. W składach tych zespołów jest najwięcej aktualnych i byłych reprezentantek Polski.
Linki: Strona g³ówna