Kres dolny i górny

Z Wikipedii

(Przekierowano z Kres górny)

Spis treści

1 Zbiory liczbowe
2 Porządki częściowe
- 2.1 Definicja
- 2.2 Własności i przykłady
3 Zobacz też

Kres dolny (również łac. infimum) oraz kres górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

[edytuj] Zbiory liczbowe

Najczęściej oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

[edytuj] Definicje

Przypuśćmy, że zbiór $A\subseteq \mathbb R$ jest niepusty.

Powiemy, że $s$ jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru $A$ , jeżeli $s \geqslant a\; (s \leqslant a)$ dla wszystkich elementów $a \in A$ .

Kresem górnym zbioru $A$ nazwiemy taką liczbę $s \in \mathbb R$ , która jest najmniejszym ograniczeniem górnym tego zbioru, tj. taką, że:

$s$ jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru $A$ ;
jeśli $s' \in \mathbb R$ jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru $A$ , to $s \leqslant s'\;$ .

Symetrycznie, kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru $A$ oznaczamy $\sup(A)$ , kres dolny $\inf(A)$ . Zapisy $\inf(A) = -\infty$ oraz $\sup(A) = \infty$ oznaczają, iż $A$ jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry.

[edytuj] Własności

Każdy niepusty podzbiór $\mathbb R$ ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tą własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa/najmniejsza, to jest ona jego kresem górnym/dolnym.
Przypuśćmy że $A\subseteq \mathbb R$ jest niepustym zbiorem oraz $s \in \mathbb R$ , wówczas

$s = \sup(A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{a \in A}\; a \leqslant s$ oraz $\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon$ ;

$s = \inf(A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{a \in A}\; a \geqslant s$ oraz $\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a < s + \varepsilon$ .
Jeżeli $A \subseteq \mathbb R$ oraz oznaczymy $-A := \{x \in \mathbb R\colon -x \in A\}$ , to:

$\inf(-A) = -\sup(A)$ ,

$\sup(-A) = -\inf(A)$ .

[edytuj] Przykłady

Jeśli A = [0,3], to:
- $\inf(A)=0$ ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem dolnym.
- $\sup(A)=3$ ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem górnym.
Niech B = (0,3). Wówczas:
- $\inf(B)=0$ . Choć w zbiór B nie ma liczby najmniejszej, jego kresem dolnym jest 0, bowiem żadna liczba większa od 0 nie jest mniejsza od dowolnej z liczb zbioru B.
- $\sup(B)=3$ . Mimo że w zbiorze B nie ma liczby największej, kresem górnym jest 3, ponieważ nie istnieje liczba mniejsza od 3, która byłaby większa od jakiejkolwiek liczby ze zbioru B.
Niech $C = {0,1,4}$ . Wówczas podobnie jak dla zbioru $A$ , $\inf(C)=0$ oraz $\sup(C)=4$ :
Połóżmy $D=\{1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, \ldots\}$ . Jest $\sup(D)=1$ , bo każda liczba zbioru D jest mniejsza od 1, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 nie jest większa od wszystkich liczb ze zbioru D.

[edytuj] Porządki częściowe

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane przy użyciu tylko porządku i mogą być wprowadzone jako dużo ogólniejsze niż w sekcji powyżej.

[edytuj] Definicja

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że $A\subseteq X$ i $s\in X$ .

Element $s$ jest ograniczeniem górnym (odpowiednio: dolnym) zbioru $A$ , jeżeli $\forall_{a\in A}\;a\sqsubseteq s$ (odpowiednio: $\forall_{a\in A}\;s\sqsubseteq a$ ).

Element $s$ jest kresem górnym (odpowiednio: dolnym) zbioru $A$ (w $X$ ), jeśli jest najmniejszym (odpowiednio: największym) ograniczeniem tego zbioru, tzn. jeśli $s' \in X$ jest ograniczeniem górnym (odpowiednio: dolnym) zbioru $A$ , to $s\sqsubseteq s'$ (odpowiednio: $s'\sqsubseteq s$ ).

Każdy element zbioru X jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru $X$ , a kres górny zbioru pustego - najmniejszym elementem zbioru $X$ .

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny, to porządek $(X,\sqsubseteq)$ nazywa się zupełnym.

[edytuj] Własności i przykłady

Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych ${\mathbb Q}$ z porządkiem naturalnym i zbiór $A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}$ , to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym. (Oczywiście ten sam zbiór ma kres dolny i kres górny w liczbach rzeczywistych.)
Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też kres dolny i kres górny można oznaczać symbolami odpowiednio $\inf(A)$ i $\sup(A)$ .
Jeśli $(X,\sqsubseteq)$ jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy $(Y,\leq)$ taki że $X\subseteq Y$ i obcięcie $\leq \upharpoonright X$ zgadza się z $\sqsubseteq$ , oraz $X$ jest gęstym podzbiorem $Y$ . Porządek $(Y,\leq)$ jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
Jeśli $(X,\sqsubseteq)$ jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn każdy ograniczony niepusty podzbiór $X$ ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór $X$ ma kres dolny.
Niech będzie algebrą Boole'a i niech będzie porządkiem boole'owskim na (tzn. dla wtedy i tylko wtedy gdy ).
- Kres górny niepustego zbioru $A\subseteq {\mathbb B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\sum A$ i bywa nazywany sumą zbioru $A$ . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek boole'owski $\leq$ jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
- Kres dolny niepustego zbioru $A\subseteq {\mathbb B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\prod A$ i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru $A$ . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a ${\mathbb B}$ :
  
  każdy niepusty podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres górny (tzn sumę),
  
  każdy niepusty podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres dolny (tzn produkt).
- Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli $\emptyset\neq A\subseteq {\mathbb B}$ , to

$\sum A=\sim\prod\{\sim a:a\in A\}$ oraz $\prod A=\sim\sum\{\sim a:a\in A\}.$

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

PE: świetna Polonia, dramat Olszara, hat-trick Sobczaka

We wtorwek, 7 października, rozegrano trzy mecze piłkarskiego Pucharu Ekstraklasy. Najbardziej zacięte spotkanie obejrzeli kibice w Chorzowie, gdzie Ruch wygrał z Odrą Wodzisław 3:2. Trzy bramki w tym meczu strzelił Marcin Sobczak, a sędzia pokazał dwie czerwona kartki. Prawdziwe "wejście smoka" miał w spotkaniu Piasta Gliwice ze Śląskiem Wrocław Sebastian Olszar. Napastnik gospodarzy strzelił dwa gole, trzeciego wypracował, by wreszcie skończyć mecz na noszach. Nadal znakomicie spisuje się...

"Gladiatorzy" zatrzymali Goeppingen

Piłkarze ręczni SC Magdeburg meczem z Frisch Auf Goeppingen zainaugurowali ósmą kolejkę zmagań w Bundeslidze.

Tusk o PZPN: ci ludzie mają silnych protektorów

Premier Donald Tusk przyznał we wtorek, że w sprawie PZPN nie udało się wszystkiego osiągnąć, ale nie sądzi, aby obecne rozwiązanie było kompromitujące. Dodał, że minister sportu Mirosław Drzewiecki zachowa stanowisko.

PE: Polonia podtrzymała świetną passę

Znakomicie radzi sobie w tym sezonie Polonia Warszawa. "Czarne Koszule", beniaminek Ekstraklasy, przewodzą ligowej tabeli, a na dodatek nie przegrywają spotkań i nie tracą bramek.

Cech: cieszę się, że mecz z Polską rozstrzygnie się na boisku

Petr Cech, bramkarz Chelsea Londyn i reprezentacji Czech, jest zadowolony z faktu, że mecz eliminacji MŚ 2010 dojdzie do skutku.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia