Krzywa - Google

Krzywa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Spis treści

Krzywa – pojęcie matematyczne, jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, geometria różniczkowa stosowane również w mowie potocznej.

[edytuj] Intuicyjne wymagania

Pomimo intuicyjnej prostoty pojęcie to jest bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Od poprawnej definicji wymaga się, aby była to „dowolna linia” na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w tym także linia prosta, która w szczególności mogłaby rozgałęziać się i przerywać.

[edytuj] Definicja

Krzywą zwartą nazywamy continuum o wymiarze 1, czyli continuum w którym dla każdego jego punktu, i dowolnego otoczenia tego punktu, istnieje pewne otoczenie tegoż punktu, zawarte w poprzednim, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu. Innymi słowy: każdy punkt ma dowolnie małe otoczenia o 0-wymiarowym brzegu.

[edytuj] Wcześniejsze pojęcia krzywej

Podana wyżej definicja pochodzi z lat 20. XX wieku, jednak krzywą próbowano zdefiniować już od starożytności:

  • Komentatorzy Euklidesa określali ją jako „długość bez szerokości” oraz „ograniczenie powierzchni”. Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
  • Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje wszystkich przypadków.
  • Camille Jordan w XIX wieku zdefiniował krzywą jako zbiór punktów \left(\varphi(t), \psi(t)\right), gdzie \varphi i ψ są funkcjami ciągłymi, zaś t jest parametrem przebiegającym przedział liczb rzeczywistych. Innymi słowy krzywa Jordana jest to obraz przedziału (równoważnie: odcinka) w odwzorowaniu ciągłym. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W 1890 roku Giuseppe Peano pokazał, że do tej definicji pasuje również kwadrat wraz z wnętrzem (tzw. krzywa Peano).
  • Ważne klasy krzywych definiuje się nakładając dodatkowe warunki na funkcje \varphi i ψ, na przykład dla funkcji różniczkowalnych dostajemy łuk regularny, a dla przedziałami liniowych - linię łamaną.
  • Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby łuków, z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np.
    \left\{(x, y): y = \sin~\tfrac{2\pi}{x}, 0 < x \le 1\right\} z dołączonym odcinkiem \left\{(x, y): x = 0, -1 \le y \le 1\right\}.
  • Georg Cantor pod koniec XIX wieku podał następującą definicję: krzywa płaska to takie continuum na płaszczyźnie, które nie zawiera żadnego koła o dodatnim promieniu (przez koło rozumie się figurę 2-wymiarową, a nie sam brzegowy okrąg).
  • W końcu w latach 20. XX wieku rosyjski matematyk Paweł Urysohn sformułował definicję podaną na początku artykułu. W przypadku płaszczyzny jest ona równoważna definicji podanej przez Cantora.

[edytuj] Zobacz też


Inflacja bazowa po wyłączeniu cen żywności i energii wyniosła 2,2 proc. w VII
Inflacja bazowa po wyłączeniu cen żywności i energii - nowa miara wprowadzona w maju przez bank centralny zamiast inflacji bazowej netto - wyniosła w lipcu 2008 roku 2,2 proc. w ujęciu rocznym wobec 2,2 proc. r/r miesiąc wcześniej, podał w czwartek Narodowy Bank Polski (NBP).
RPP nie podniosła stóp z obawy o wzrost PKB i silnego złotego
Podczas lipcowego posiedzenia Rady Polityki Pieniężnej został zgłoszony wniosek o podwyżkę stóp procentowych o 25 pb, ale nie został on przyjęty, wynika z "Opisu dyskusji na posiedzeniu decyzyjnym Rady Polityki Pieniężnej w dniu 30 lipca 2008 r." (tzw. "minutes"), opublikowanego przez NBP. Główną przyczyną odrzucenia wniosku o podwyżkę była obawa większości członków Rady o spowalniająca gospodarkę oraz zbyt szybkie umacnianie się złotego, który coraz mocniej uderza w eksporterów.
Ruszył konkurs na Innowatora Mazowsza 2008
Już tylko do 30 września br. przedsiębiorstwa stawiające na innowacyjne rozwiązania oraz młodzi naukowcy mogą złożyć wniosek w I edycji konkursu „Innowator Mazowsza”. Jest  o co walczyć, bowiem pula nagród wyniesie ponad 70 tys. zł. Celem konkursu jest wsparcie i docenienie firm proponujących innowacyjne i nowatorskie rozwiązania.
Na GPW marazm w oczekiwaniu na dane z USA
Środa na warszawskiej giełdzie mija spokojnie i statycznie, więc rynek pozostaje na minusie z otwarcia. Zdaniem analityków, trudno oczekiwać poprawy w drugiej połowie dnia, szczególnie, że giełdy za Oceanem prawdopodobnie także otworzą się "pod kreską".
Rozprawa w sprawie akcji Polkomtela - na początku września
Rozprawa w sprawie zdjęcia zabezpieczeń na akcjach Polkomtela należących do TDC odbędzie się 5 września w Sądzie Okręgowym w Warszawie. Zniesienie tych zabezpieczeń ma umożliwić sprzedaż przez TDC akcji operatora sieci Plus polskim akcjonariuszom, czyli KGHM, PKN, PGE i Węglokoksowi.
Linki: Strona gwna