Kwadratury Gaussa - Google

Kwadratury Gaussa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Kwadraturami Gaussa nazywamy metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag w_1, w_2, \ldots, w_n i węzłów interpolacji t_1, t_2, \ldots, t_n \in [a,b] aby wyrażenie

\sum_{i=1}^n w_i f(t_i)

najlepiej przybliżało całkę

I(f) = \int\limits_a^b w(x) f(x) dx

gdzie f jest dowolną funkcją określoną na odcinku [a,b], a w jest tzw funkcją wagową spełniającą warunki

  1. w(x)\ge 0,
  2. \forall_{k\in \mathbb{N}} \int\limits_a^b x^k w(x) dx jest skończona,
  3. Jeżeli p jest wielomianem takim, że \forall_{x\in [a,b]}\;p(x)\ge 0, to jeśli \int\limits_a^b w(x) p(x) dx=0, mamy wtedy p\equiv0.

Określmy iloczyn skalarny z wagą

\langle f,g \rangle_w = \int\limits_a^b w(x) f(x) g(x) dx.

Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego jeśli \langle f,g \rangle_w =0.

Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzÄ… siÄ™ z twierdzenia udowodnionego przez niego:

a) Jeżeli t_1, t_2, \ldots, t_n \in [a,b] są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego pn(x) oraz w_1, w_2, \ldots, w_n są rozwiązaniami układu równań:

\left\{ \begin{matrix} p_0(t_1)w_1 + & \ldots & + p_0(t_n)w_n= & <p_0,p_0>_w\\ p_1(t_1)w_1 + & \ldots & + p_1(t_n)w_n= & 0\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ p_{n-1}(t_1)w_1 + & \ldots & + p_{n-1}(t_n)w_n= & 0\\ \end{matrix}\right.

to dla każdego wielomianu p stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi

\int\limits_a^b w(x) p(x) dx = \sum_{i=1}^n w_i p(t_i).\qquad (*)

Ponadto wi > 0.

b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b] oraz ciągu wag v_1, v_2, \ldots, v_n dla dowolnego wielomianu p stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi warunek (*), to xi = ti oraz vi = wi z dokładnością do kolejności.

c) Dla dowolnego ciągu węzłów x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b] oraz ciągu wag v_1, v_2, \ldots, v_n nie istnieje wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).

[edytuj] Najczęściej spotykane rodzaje kwadratur Gaussa

Kwadratury z przedziału [ − 1,1] z wagą w\equiv 1 nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre'a

I(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),

gdzie ti to pierwiastki n-tego wielomianu Legendre'a.

Kwadratury z wagÄ… w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa

I(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),

gdzie ti to pierwiastki n-tego wielomianu Czebyszewa.

Kwadratury z wagÄ… w(x)=e^{-x^2} nazywamy kwadraturami Gaussa-Hermite'a

I(f)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),

gdzie ti to pierwiastki n-tego wielomianu Hermite'a.

Kwadratury z wagą w(x) = e − x nazywamy kwadraturami Gaussa-Laguerre'a

I(f)=\int\limits_{0}^\infty e^{-x} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),

gdzie ti to pierwiastki n-tego wielomianu Laguerre'a.

Kwadratury z wagą w(x) = (1 − x)α(1 + x)β nazywamy kwadraturami Gaussa-Jacobiego

I(f)=\int\limits_{-1}^1 (1-x)^\alpha(1+x)^\beta f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i)

.

[edytuj] Zobacz też


AMD podzieli się na dwa oddziały
AMD ma ogłosić podział na dwie oddzielne firmy: jedną, która projektować będzie procesory i drugą, zajmującą się samą produkcją.
Sony VAIO, czyli wszystko w jednym
Komputer typu all-in-one z serii VAIO JS1 wyposażono w 21,1-calowy panel LCD, dysk twardy o pojemności 500 GB, 3 GB pamięci RAM oraz procesor Intel Core 2 Duo.
Notebook z tatuażem, czyli specjalna edycja HP Pavilion
Na rynek trafiają dwa modele notebooków z serii Pavilion, wyposażone w procesory Core 2 Duo, 4 GB pamięci RAM oraz wymyślne wzorki na obudowach.
Bojkot Naszej-Klasy
Nasza-Klasa, serwis społecznościowy, który podbił serca polskich internatów, zniesmaczył swoich wiernych użytkowników nową usługą. Po ogłoszeniu, że rozszerzona funkcja &quot;Goście&quot; będzie realizowana jako płatna usługa, pojawiła się lawina protestów.
Dobre strony - październik 2008
Strony WWW polecane przez redakcję Republiki WWW. Październik 2008.
Linki: Strona g³ówna