Kwaterniony

Z Wikipedii

Kwaterniony – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności. Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

Współczesna matematyka opisuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez $\mathbb H$ od pierwszej litery nazwiska twórcy. Wspomniana algebra $\mathbb H$ zajmuje specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończeniewymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.

Spis treści

1 Zapis
2 Sprzężenie, wyznacznik, moduł
- 2.1 Własności sprzężenia i modułu
3 Własności
- 3.1 Izomorficzność
- 3.2 Własności algebraiczne
  - 3.2.1 Grupa kwaternionów
  - 3.2.2 Ciało skośne
4 Przykłady
5 Geometryczna interpretacja mnożenia
6 Obroty przestrzeni trójwymiarowej
7 Zastosowania
8 Zobacz też
9 Linki zewnętrzne
10 Bibliografia
11 Przypisy

[edytuj] Zapis

Jest kilka sposobów przedstawiania kwaternionów. Jednym z nich jest przedstawienie kwaternionów w postaci macierzowej, czyli jako macierzy z przestrzeni $M_{2 \times 2}(\mathbb C)$ takich, że

$\begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+bi & c+di\\ -c+di & a-bi \end{bmatrix}$ , gdzie $z=a+bi,\; w=c+di$ .

Innym sposobem zapisu macierzowego jest

$\begin{bmatrix} \;\; a & -b & \;\; d & -c \\ \;\; b & \;\; a & -c & -d \\ -d & \;\; c & \;\; a & -b \\ \;\; c & \;\; d & \;\; b & \;\; a \end{bmatrix}$ , dla $: a, b, c, d \in \mathbb R$ .

Innym sposobem zapisu jest postać algebraiczna – wprowadzenie oznaczenia dla szczególnych macierzy (kwaternionów)

$i=\begin{bmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{bmatrix},\quad j=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad k=\begin{bmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{bmatrix}\quad$

pozwoli na zapis dowolnego kwaternionu w postaci

q = a + b i + c j + d k

, gdzie $: a, b, c, d \in \mathbb R$ .

Wtedy $a \in \mathbb R$ nazywa się czasami częścią rzeczywistą kwaternionu $q$ .

Dodatkowo, niech $r=\begin{bmatrix} r & 0\\ 0 & r \end{bmatrix}\quad$ dla $r \in \mathbb R$ .

[edytuj] Sprzężenie, wyznacznik, moduł

Sprzężenie w kwaternionach definiujemy następującym wzorem:

$\overline \begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overline z & -w\\ \overline w & z \end{bmatrix}$ ,

w postaci algebraicznej:

$\overline{a+bi+cj+dk}=a-bi-cj-dk$ .

Wyznacznik kwaternionu definiujemy wg wzoru

det q = | z | 2 + | w | 2

.

Moduł to pierwiastek z wyznacznika:

$|q|=\sqrt{\det q}=\sqrt{\begin{vmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{vmatrix}} = \sqrt{|z|^2+|w|^2}$ ,

albo równoważnie w postaci algebraicznej:

$|a+bi+cj+dk|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$

[edytuj] Własności sprzężenia i modułu

$|q|=|\overline q|=|-q|$ ,
$q\cdot \overline q=|q|^2$ ,
$|q\cdot w|=|q|\cdot|w|$ ,
$|q+w|\leq|q|+|w|$ (nierówność trójkąta).

[edytuj] Własności

Wykorzystując wspomniany izomorfizm kwaternionów i ich postaci macierzowej otrzymujemy:

z własności dodawania macierzy wnioskujemy, iż suma dwu kwaternionów jest kwaternionem;

$\begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} p & q\\ -\overline q & \overline p \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} z+p & w+q\\ -\overline {w+q} & \overline {z+p} \end{bmatrix}$

podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem,
dla kwaternionu :
- $\mathbb R \ni \det q > 0$ ,
- istnieje kwaternion odwrotny zadany wzorem

$q^{-1} = \begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix}^{-1} =\frac{\begin{bmatrix} \overline z & -w\\ \overline w & z \end{bmatrix}}{|z|^2+|w|^2}$ .

Zauważmy jeszcze iż:

mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli $(a b) c = a (b c)$ ,
zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
- $x (y + z) = x y + x z$ ,
- $(y + z) x = y x + z x$ .

Tak zdefiniowane kwaterniony $i, j, k$ spełniają następujące zależności:

$i 2 = j 2 = k 2 = i j k = - 1$ ,
$i j = - j i = k$ ,
$j k = - k j = i$ ,
$k i = - i k = j$ ,
$1 q = q 1 = q$ dla dowolnego $q$ , czyli $1$ jest elementem neutralnym mnożenia,
$r q = q r$ o ile $r \in \mathbb R$ (jest kwaternionem postaci $r + 0 i + 0 j + 0 k$ ), natomiast $q$ dowolnym kwaternionem.
$q \overline q= |q|^2$ .

[edytuj] Izomorficzność

Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, poniżej wskazujemy izomorfizmy pewnych podzbiorów kwaternionów z tymi ciałami:

kwaterniony postaci $r+0i+0j+0k, r \in \mathbb R$ można utożsamiać z liczbami rzeczywstymi,
następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych:
- $\{q=a+bi: a, b\in \mathbb R\}$ ,
- $\{q=a+bj: a, b\in \mathbb R\}$ ,
- $\{q=a+bk: a, b\in \mathbb R\}$ .

[edytuj] Własności algebraiczne

[edytuj] Grupa kwaternionów

Z powyższych własności i praw działań na macierzach wnioskujemy, iż zbiór ${1, - 1, i, - i, j, - j, k, - k}$ z mnożeniem tworzy grupę oznaczaną symbolem $Q 8$ (od liczby elementów).

Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy grupę abelową (zbiór z mnożeniem nie jest grupą abelową), a ponieważ działanie mnożenia jest łączne i zachodzi jego rozdzielność obustronna względem dodawania, to kwaterniony ze wspomnianymi dwoma działaniami tworzą pierścień nieprzemienny (ponieważ $ij \neq ji$ ), w którym rozwiązywalne są równania postaci $A x + B = C$ oraz $xA+B=C,\quad A \ne 0$ .

[edytuj] Ciało skośne

Co więcej: zbiór kwaternionów z działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało skośne, tzn. spełnione są w nim wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem warunku $a b = b a$ .

Nazwa "ciało skośne" jest kalką angielskiego terminu skew field; częściej mówiono "ciało nieprzemienne" wiedząc, że z definicji ciało musi być przemienne (!); obie nazwy wychodzą z użycia na rzecz nazwy "pierścień z dzieleniem".

[edytuj] Przykłady

Niech

x = 2 + 3 i + 4 k

y = 2 + 3 j + 2 k

Wtedy

x + y = 4 + 3 i + 3 j + 6 k

,

x y = (2 + 3 i + 4 k)(2 + 3 j + 2 k) =

= 2(2 + 3 j + 2 k) + 3 i (2 + 3 j + 2 k) + 4 k (2 + 3 j + 2 k) =

= 4 + 6 j + 4 k + 6 i + 9 i j + 6 i k + 8 k + 12 k j + 8 k 2 =

= 4 + 6 j + 4 k + 6 i + 9 k + 6( - j) + 8 k + 12( - i) + 8( - 1) =

= - 4 - 6 i + 21 k

[edytuj] Geometryczna interpretacja mnożenia

Jak liczbę zespoloną tak i kwaternion można przedstawić w postaci sumy części rzeczywistej oraz urojonej $a + v$ . W tej postaci $a \in \mathbb R$ , zaś $\mathrm v \in \mathbb R^3$ wektorem trójwymiarowym. Wtedy iloczyn dwóch wektorów urojonych można wyrazić jako: $\mathrm{vw} = -(\mathrm v \cdot \mathrm w) + \mathrm v \times \mathrm w$ , a dwóch kwaternionów - jako: $(a + \mathrm v)(b + \mathrm w) = ab - (\mathrm v \cdot \mathrm w) + a\mathrm w + b\mathrm v + \mathrm v \times \mathrm w$ . We wzorach tych kropka oznacza iloczyn skalarny, a krzyżyk iloczyn wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

[edytuj] Obroty przestrzeni trójwymiarowej

Kwaterniony jednostkowe tworzą sferę jednostkową $S 3$ w przestrzeni czterowymiarowej. Grupa ta jest blisko związana z grupą obrotów $S O 3$ przestrzeni trójwymiarowej. Przypiszmy mianowicie dowolnemu kwaternionowi $h$ obrót $T h$ wg wzoru:

T h (x) = h x h - 1

.

Wówczas:

przekształcenie $T h$ jest obrotem w trójwymiarowej przestrzeni kwaternionów urojonych.
przekształcenie $h \mapsto T_h$ definiuje podwójne nakrycie grupy $S O 3$ przez sferę $S 3$ .
jeśli wyrazimy kwaternion $h$ w postaci wykładniczej $e v a$ , wtedy $T h$ jest obrotem wokół osi $v$ kąt $2 a$ .

[edytuj] Zastosowania

Kwaterniony są używane w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie DirectX^[1]. Ich zastosowania w matematyce są jednak o wiele szersze.

Sam Hamilton używał kwaternionów do linearyzacji równań różniczkowych, m.in. w mechanice niebieskiej - obrót to pomnożenie przez stałe kwaterniony. Kwaternionów Hamiltona używa się do konstrukcji wiązek wektorowych w geometrii różniczkowej. Użyto ich też w teorii liczb do badania liczby przedstawień liczby naturalnej jako sumy czterech kwadratów liczb całkowitych (co akurat przydaje się w równaniach różniczkowych cząstkowych).

Uogólnionych algebr kwaternionów używa się w teorii liczb (ładne sformułowanie zasady lokalno-globalnej Minkowskiego-Hasse), geometrii algebraicznej (stożkowe jako rozmaitości Severi-Brauera); pojawiają się w teorii kohomologii Galois (kohomologii etalnych) jako elementy rzędu 2 w grupie Brauera ciała (słynne twierdzenie Merkurjewa z 1981 identyfikuje owe elementy rzędu dwa jako klasy iloczynów tensorowych uogólnionych algebr kwaternionów); algebraiczna K-teoria rzutowej krzywej stożkowej wyraża się przez algebraiczną K-teorię ciała współczynników i K-teorię odpowiedniej uogólnionej algebry kwaternionów. Ogólniej, R. Swan udowodnił w 1985, że algebraiczna K-teoria kwadryki rzutowej wyraża się przez algebraiczne K-teorie ciała i odpowiedniej algebry Clifforda, która jest albo algebrą macierzy nad iloczynem tensorowym uogólnionych algebr kwaternionów, albo iloczynem kartezjańskim dwóch takich algebr (macierzy).

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

[edytuj] Linki zewnętrzne

[edytuj] Bibliografia

Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. PWN, 1968.

Przypisy

↑ Dokumentacja: http://msdn2.microsoft.com/en-us/library/microsoft.windowsmobile.directx.quaternion.aspx

ASTD współorganizatorem Międzynarodowego Kongresu Kadry

W dniach 24-27 listopada odbędzie się Międzynarodowy Kongres Kadry - VIII edycja Kongresu Kadry, po raz pierwszy w wydaniu międzynarodowym.

Obrady WTO na razie bez przełomu

W toczących się od poniedziałku rozmowach w Genewie na temat zniesienia barier w światowym handlu w ramach tzw. rundy z Dauhy do soboty nie udało się wypracować porozumienia.

Absurdalne zapisy blokują unijne dotacje

Bardzo dobry projekt może nie dostać dofinansowania, jeżeli np. przedsiębiorca wypełni wniosek... czarnym długopisem. Takie wątpliwe wymogi wymyślają urzędnicy - czytamy w "Rzeczpospolitej".

KE zamroziła ponad 2 mld euro dla Bułgarii

Komisja Europejska zamroziła znacznie więcej środków dla Bułgarii, niż ogłoszone w środę 825 mln euro z przedakcesjnych funduszy ISPA, PHARE i SAPARD - napisał bułgarski dziennk "Sega".

Betacom: 35 proc. zysku na dywidendę?

Zarząd Betacom zamierza wnioskować do Rady Nadzorczej i WZA o przeznaczenie na wypłatę dywidendy około 35 proc. zysku netto za rok obrotowy 2007/08. W kolejnych latach zarząd planuje rekomendować wypłatę dywidendy na poziomie 25-35 proc. zysku - poinformowała spółka w raporcie rocznym.

Linki: Strona g��wna

[DirectX-0] Dokumentacja: http://msdn2.microsoft.com/en-us/library/microsoft.windowsmobile.directx.quaternion.aspx

[1]

Encyklopedia