Liczby wymierne

Z Wikipedii

Definicja intuicyjna:
ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby wymierne mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Liczby wymierne — liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera, czyli liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Tak więc zbiór liczb wymiernych ${\mathbb Q}$ to

$\mathbb Q = \left\{ {m \over n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}$ .

Dopełnienie zbioru liczb wymiernych do zbioru liczb rzeczywistych nazywamy liczbami niewymiernymi.

[edytuj] Definicja

Liczby wymierne są ciałem ułamów pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić następująco.

Niech w zbiorze par liczb całkowitych $(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*$ , których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

(a, b)˜(c, d)

wtedy i tylko wtedy, gdy

a d = b c

.

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się działania

$[(a, b)] + [(c, d)] = [(a d + b c, b d)]$ i
$[(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)]$ .

Parę $(a, b)$ zapisuje się zwykle w postaci ułamka $\tfrac{a}{b}$ , bądź jeśli $b = 1$ , to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą $a$ .

[edytuj] Własności

Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się $|\mathbb Q| = \aleph_0$ ).
Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ , liczby wymierne są gęste w ${\mathbb R}$ .

[edytuj] Uogólnienia

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem:

Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są:

liczby naturalne $\mathbb N$ ,
liczby całkowite $\mathbb Z$ .

[edytuj] Zobacz też

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.

Wielkie sprzątanie po huraganie

Mieszkańcy Meksyku zaczynają wielkie sprzątanie po przejściu huraganu Dolly. Mimo, że tropikalny sztorm opuszcza już powoli meksykański odcinek wybrzeża, ślady po nim zostaną jeszcze długo.

Polityka debiutuje w MTV

Muzyczna telewizja MTV widziała już w swojej historii wiele debiutów, jednak tym razem to coś zupełnie nowego. Temperatura kampanii prezydenckiej w USA spowodowała, że w popularnej telewizji po raz pierwszy pojawiła się polityczna reklama.

Znów strzelanina w amerykańskiej szkole

Mężczyzna o nieznanej dotąd tożsamości otworzył ogień w szkole w amerykańskim stanie Arizona. Kule dosięgły trzech osób, dwie z nich znajdują się w krytycznym stanie.

Rosja zapłaci za tortury

W czwartek w Europejskim Trybunale Praw Człowieka zakończył się proces wytoczony Federacji Rosyjskiej przez torturowanego w więzieniu mężczyznę. 35-latek ma otrzymać 20 tysięcy euro odszkodowania.

Demonstranci bronią Karadżicia

Drugi dzień z rzędu w stolicy Serbii ponownie demonstrowali serbscy nacjonaliści. W centrum Belgradu protestowali przeciwko aresztowaniu zbrodniarza wojennego i byłego przywódcy Serbów bośniackich Radovana Karadżicia. To już druga, po środowej, demonstracja na ulicach Belgradu w obronie Karadżicia.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia