Liczby wymierne

Z Wikipedii

Definicja intuicyjna:
ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby wymierne mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Liczby wymierne — liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera, czyli liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Tak więc zbiór liczb wymiernych ${\mathbb Q}$ to

$\mathbb Q = \left\{ {m \over n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}$ .

Dopełnienie zbioru liczb wymiernych do zbioru liczb rzeczywistych nazywamy liczbami niewymiernymi.

[edytuj] Definicja

Liczby wymierne są ciałem ułamów pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić następująco.

Niech w zbiorze par liczb całkowitych $(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*$ , których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

(a, b)˜(c, d)

wtedy i tylko wtedy, gdy

a d = b c

.

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się działania

$[(a, b)] + [(c, d)] = [(a d + b c, b d)]$ i
$[(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)]$ .

Parę $(a, b)$ zapisuje się zwykle w postaci ułamka $\tfrac{a}{b}$ , bądź jeśli $b = 1$ , to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą $a$ .

[edytuj] Własności

Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się $|\mathbb Q| = \aleph_0$ ).
Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ , liczby wymierne są gęste w ${\mathbb R}$ .

[edytuj] Uogólnienia

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem:

Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są:

liczby naturalne $\mathbb N$ ,
liczby całkowite $\mathbb Z$ .

[edytuj] Zobacz też

Tanieje benzyna i olej napędowy w PKN Orlen

PKN Orlen obniża od soboty, 6 września, hurtowe ceny benzyny bezołowiowej o 12 zł, benzyny bezołowiowej Super Plus 98 o 15 zł, a oleju napędowego o 8 zł na tysiąc litrów - poinformował w piątek płocki koncern.

Getin Holding zdecydował o rozpoczęciu skupu do 4 mln akcji własnych

Zarząd Getin Holding zdecydował o rozpoczęciu od 8 września programu skupu do 4 mln akcji własnych w celu ich umorzenia. Program skupu ma zostać zakończony najpóźniej 28 marca 2011 roku - poinformowała spółka w piątkowym komunikacie.

UOKiK: gminy naruszają zasady konkurencyjności

Gminy naruszają zasady konkurencji monopolistycznej. Przejawia się to m.in. w wywozie odpadów, odprowadzaniu ścieków, dostawie wody, a nawet w usługach pogrzebowych - poinformował w piątek Urząd Ochrony Konkurencji i Konsumentów (UOKiK).

MSP podpisało z ISD Polska ostateczny dokument ws. stoczni

Resort skarbu podpisał z ISD Polska ostateczny dokument uzgodnień w sprawie planu restrukturyzacji stoczni Gdynia i Gdańsk - powiedział w piątek PAP rzecznik ISD Jacek Łęski. Informację potwierdził rzecznik MSP Maciej Wewiór.

RN BRE powołała Przemysława Gdańskiego do zarządu

Rada nadzorcza BRE Banku powołała Przemysława Gdańskiego na stanowisko członka zarządu banku z dniem 19 listopada - poinformował bank w piątkowym komunikacie. Do zarządu banku została także powołana Karin Katerbau.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia