Ułamek

Z Wikipedii

Ułamek – wyrażenie postaci $\tfrac{a}{b}$ , gdzie $a$ , nazywane licznikiem, oraz $b$ , nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku zakłada się, że jest różny tożsamościowo od zera. Iloraz $\tfrac{a}{0}$ jest nieokreślony, choć ma granicę równą nieskończoności. Granica w zależności wyboru kierunku może być dodatnia, ujemna lub nawet zespolona (zob. dzielenie przez zero).

Spis treści

1 Liczby wymierne
2 Wyrażenia wymierne
3 Działania na ułamkach
4 Ciało ułamków
- 4.1 Istotność założenia całkowitości pierścienia
5 Inne znaczenia
6 Zobacz też

[edytuj] Liczby wymierne

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnich liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. $1 + \tfrac{2}{3}$ staje się $1\tfrac{2}{3}$

[edytuj] Wyrażenia wymierne

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

[edytuj] Działania na ułamkach

Dla każdego $c \ne 0$ ułamek $\tfrac{a}{b}$ jest równy $\tfrac{ac}{bc}$ . Operację zamiany $\tfrac{a}{b}$ na $\tfrac{ac}{bc}$ nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ ,

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$ .

Przedstawienie liczby $k$ w postaci ułamka $\tfrac{k}{1}$ prowadzi do wzorów:

$\frac{a}{b} \cdot k = \frac{ak}{b}$ ,

$\frac{a}{b} : k = \frac{a}{bk}$ .

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

$\frac{a}{m} \pm \frac{b}{m} = \frac{a \pm b}{m}$ .

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$ .

Liczba $b d$ może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $b$ i $d$ .

[edytuj] Ciało ułamków

Dla każdego pierścienia całkowitego $P$ (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków. Definiuje się je jako zbiór klas abstrakcji relacji równoważności $\sim$ określonej w iloczynie kartezjańskim $P \times P^*$ w sposób

$[a, b] \sim [c, d] \iff ad = bc$ .

W zbiorze tym wprowadza się również działania dodawania i mnożenia:

$[a, b] + [c, d] = [a d + b c, b d]$ ,
$[a,b] \cdot [c,d] = [ac, bd]$ .

Jak wspomniano wcześniej ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych jest izomorficzne z ciałem liczb wymiernych.

[edytuj] Istotność założenia całkowitości pierścienia

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli $x y = 0$ dla niezerowych $x, y\in P$ , to

$[1, 1] \sim [x, x] = [x, 1] \cdot [1, x] \sim [xy, y] \cdot [1, x] = [0, y] \cdot [1, x] \sim [0, 1] \cdot [1,x] = [0, x] \sim [0,1]$ ,

czyli

[1,1]˜[0,1]

,

stąd zaś dla dowolnego

$[a, b] = [a, b] \cdot [1, 1] \sim [a, b] \cdot [0, 1] = [0, b] \sim [0, 1]$ ,

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa $[0,1]$ , a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

[edytuj] Inne znaczenia

Ułamek w potocznym znaczeniu to liczba wymierna nie będąca liczbą całkowitą;
ułamek dziesiętny to alternatywny zapis liczby rzeczywistej w systemie dziesiętnym,
ułamek łańcuchowy.

W stechiometrii:

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Niewyspane nastolatki mogą mieć nadciśnienie

Nastolatki, które śpią mniej niż 6,5 godziny na dobę mają 2,5 razy większe ryzyko zachorowania na nadciśnienie niż ich bardziej wyspani koledzy. Nadciśnienie to jedna z głównych przyczyn zawałów serca i chorób układu krążenia.

Najwyżsi ludzie świata

Tytuł najwyższego człowieka na świecie powrócił do Chińczyka Bao Xishuna, gdyż obecny rekordzista, Ukrainiec Leonid Stadnyk, odmówił poddania się zmierzeniu według nowych zasad - podała agencja Reuters.

USG pomaga przewidzieć zawał

Badania ultrasonograficzne mogą pomóc w zidentyfikowaniu osób szczególnie zagrożonych zawałem serca i innymi chorobami układu sercowo-naczyniowego - informuje pismo "Radiology".

Odkryto głowę kolosalnego posągu cesarzowej

Archeolodzy odkryli w południowo-zachodniej Turcji głowę wielkiego marmurowego posągu, przedstawiającego postać Faustyny Starszej, żony rzymskiego cesarza Antoninusa Piusa - donosi serwis internetowy BBC News.

Krew menstruacyjna może leczyć miażdżycę

Komórki pozyskiwane z krwi menstruacyjnej mogą być wykorzystane do leczenia zaawansowanej miażdżycy tętnic obwodowych - informuje serwis "EurekAlert".

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia