Linia geodezyjna

Z Wikipedii

Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjna – krzywa w przestrzeni metrycznej zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi dostatecznie bliskimi^[1] swoimi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej krzywiźnie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.

Spis treści

1 Geodezyjne na rozmaitościach topologicznych
2 Zobacz też
3 Przypisy

[edytuj] Geodezyjne na rozmaitościach topologicznych

[edytuj] Krzywizna

Należy odróżnić trzy różne pojęcia krzywizny, używane w tej sekcji:

krzywizna rozmaitości topologicznej, na której rozpatrujemy geodezyjne – np. krzywizna sfery zanurzonej w przestrzeni euklidesowej
krzywizna geodezyjna – krzywizna linii na rozmaitości, rozpatrywana z punktu widzenia geometrii (zwykle nieeuklidesowej) obowiązującej na tej rozmaitości. Np. brzegi kół wielkich sfery mają zerową krzywiznę geodezyjną.
krzywizna linii rozpatrywana z punktu widzenia przestrzeni w której rozmaitość jest zanurzona. Np. brzegi kół wielkich mają niezerową krzywiznę w przestrzeni euklidesowej, w której zanurzona jest ich sfera.

[edytuj] Własności linii geodezyjnych

W szczególnym przypadku przestrzeni metrycznej będącej rozmaitością topologiczną geodezyjna jest krzywą, dla której krzywizna geodezyjna w każdym jej punkcie jest równa zeru.

Ze wszystkich krzywych leżących na rozmaitości topologicznej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej i mających wspólną styczną w danym punkcie rozmaitości, krzywa geodezyjna ma najmniejszą krzywiznę (w sensie 3) w każdym swoim punkcie.

W przypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie (w sensie 1), geodezyjne są z punktu widzenia geometrii euklidesowej krzywymi nie będącymi prostą (mają niezerową krzywiznę w sensie 3), np. na sferze są to okręgi kół wielkich. Na powierzchni bocznej walca geodezyjnymi są linie śrubowe oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.

Z punktu widzenia obowiązującej w danej rozmaitości geometrii absolutnej (na ogół geometrii nieeuklidesowej) krzywe geodezyjne są odpowiednikami prostych, zwykle spełniającymi te same aksjomaty, co proste w geometrii euklidesowej za wyjątkiem postulatu równoległości (piątego aksjomatu Euklidesa).

[edytuj] Czasoprzestrzeń

Czasoprzestrzeń w OTW jest szczególnym przypadkiem rozmaitości topologicznej. Linie najkrótsze $x λ (s)$ łączące dwa punkty w zakrzywionej czasoprzestrzeni spełniają równanie:

$\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0 ,$

gdzie $\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}$ jest symbolem Christoffela:

$\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda \rho}(\partial_{\mu}g_{\rho \nu}+\partial_{\nu}g_{\rho \mu}-\partial_{\rho}g_{\mu \nu}) .$

Równanie to wynika z ekstremum funkcjonału

$S[x(s)]=mc\int ds =mc \int ds \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}} ,$

który jest proporcjonalny do długości łuku wzdłuż linii geodezyjnej.

Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego z

$g_{\mu\nu}=\mbox{diag}(1,-1,-1,-1)\ ,$

równanie linii geodezyjnej

$\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}=0.$

Wynika stąd ruch po prostej. Dla przykładu na sferze S² (2–wymiarowej $(y 1) 2 + (y 2) 2 + (y 3) 2 = r 2$ ) wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferyczne $y 1 = r sin(θ)sin(φ), y 2 = r sin(θ)cos(φ), y 3 = r cos(θ)$ , wtedy $x i = {θ,φ}$ (i=1, 2). Element długości

d s 2 = d l 2 = (d y 1) 2 + (d y 2) 2 + (d y 3) 2 + = g i, j d x i d x j = r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 (θ) d φ 2

.

Tensor metryczny wyraża się wówczas wzorem:

$g_{i,j}=\begin{pmatrix}r^2&0\\0&r^2 \sin^2(\theta)\end{pmatrix}.$

Łatwo policzyć wszystkie składowe symboli Christoffela i rozwiązać równanie linii geodezyjnej. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.

W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne tensor metryczny ma postać

$g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}e^{\nu(r)}&0&0&0\\0&-e^{\lambda(r)}&0&0\\0&0&-r^2 &0\\0&0&0&-r^2 \sin^2 (\theta)\end{pmatrix}.$

Metryka ta daje np.

$\Gamma^{1}_{0 0}=\frac{1}{2}\frac{d\nu}{dr}e^{\nu -\lambda}$

W polu tym potencjał grawitacyjny jest równy

$g_{00}=e^{\nu(r)}=1+\frac{2 \varphi(r)}{c^2}$

gdzie dla rozwiązania Karla Schwarzschilda (czarna dziura)

$\varphi(r)=-\frac{r_g c^2}{2}\frac{1}{r}=-G\frac{M}{r}$

Interwał czasoprzestrzenny ds definiuje czas własny $d s = c d τ.$ W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, $d τ = d t$ i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona, gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona

$m \frac{d^2 x^i}{dt^2}=-m \partial_i \varphi(r)$

cząstki w polu grawitacyjnym.

Ruch cząstki nie zależy od jej masy, a tylko od geometrii czasoprzestrzeni.

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Przypisy

↑ Nie musi zawierać najkrótszej drogi pomiędzy dowolnymi dwoma swoimi punktami. Na przykład helisa na powierzchni bocznej walca jest linią geodezyjną, ale nie zawiera najkrótszej drogi pomiędzy swoimi punktami leżącymi na jednej euklidesowej prostej równoległej do osi walca.

Ekspert: Porywacze nie mają wrogich zamiarów

To, że Polak wciąż żyje jest dobrym znakiem – uważa dr Krzysztof Karolczak, ekspert ds. terroryzmu z Uniwersytetu Warszawskiego. Jego zdaniem z czasem może się okazać, że chodzi o okup, a nie uwolnienie talibów – co było znacznie trudniejszym do spełnienia żądaniem.

Kanadyjczycy oceniają rząd Harpera

Na wschodnim wybrzeżu Kanady otwarto pierwsze lokale wyborcze. Kanadyjczycy, jako pierwsi wśród bogatych społeczeństw, oceniają w wyborach reakcje rządzących na światowy kryzys finansowy.

Rosyjski sąd oddalił zażalenie w sprawie Katynia

Moskiewski Okręgowy Sąd Wojskowy oddalił we wtorek zażalenie rosyjskich prawników rodzin 10 ofiar mordu NKWD na polskich oficerach w Katyniu w 1940 roku.

Porwany Polak: proszę wszystkich, którzy mnie słuchają

- Proszę wszystkich, którzy mnie oglądają, w tym Polaków, aby wywrzeć nacisk na ich rząd [w Islamabadzie - red.], żeby ich uwolnili - tych, którzy są w więzieniach, wtedy również i ja będę wolny - mówił na taśmie porwany inżynier. Polak twierdzi, że czuje dobrze, że traktują go dobrze. Posłuchaj całego nagrania.

Wyrok śmierci na pisarza

Książka o mafii może przysporzyć popularności, ale i kłopotów. I to niemałych. Kamorra wydała właśnie wyrok śmierci na pisarza Roberto Saviano, autora książki "Gomorra" - donosi włoska prasa.

Linki: Strona g��wna

[0] Nie musi zawierać najkrótszej drogi pomiędzy dowolnymi dwoma swoimi punktami. Na przykład helisa na powierzchni bocznej walca jest linią geodezyjną, ale nie zawiera najkrótszej drogi pomiędzy swoimi punktami leżącymi na jednej euklidesowej prostej równoległej do osi walca.

[1]

Encyklopedia