Logarytm naturalny

Z Wikipedii

Logarytm naturalny ln(x) jako całka po funkcji 1/x

Wykres funkcji logarytm naturalny w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) to logarytm o podstawie e=2,718281828..., oznaczany na ogół symbolem ln x. Liczba e zwana jest liczbą Eulera. Logarytm o tej podstawie ma cechę wyróżniającą go spośród wszystkich innych logarytmów: jego pochodna wyrażona jest wyjątkowo prostym wzorem:

${(\log_a x)}^\prime=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_{a}(x+\Delta x)-\log_a(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\log_a \left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)=$ $=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{x}\log_a \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}=\frac{1}{x}\log_a e=\frac{1}{x\ln a}$

Czyli dla $a=e,{(\ln x)}\prime=\frac{1}{x}\quad$

Nazwa "logarytm Nepera" pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do $\frac{1}{e}$ .

Inna definicja logarytmu naturalnego, podana przez Felixa Kleina, wychodzi właśnie od powyższego wzoru na pochodną funkcji logarytmicznej. Mianowicie, dla $x > 0$ określa się:

$\ln x = \int\limits_{1}^{x} \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$

[edytuj] Logarytm jako granica

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

$\ln a=\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}$

[edytuj] Dowód

Oznaczmy:

$a^x - 1 = \frac{1}{z}$

(1)

Wtedy $a^x = \frac{1}{z} + 1$ . Logarytmując obustronnie przy podstawie e otrzymujemy:

$x \ln a = \ln{(1+\frac{1}{z})}$

$\frac{1}{x} = \frac{\ln a}{\ln{(1+\frac{1}{z})}}$

Mnożąc obustronnie przez (1) otrzymujemy:

$\frac{a^x-1}{x} = \frac{\ln a}{z \ln{(1+\frac{1}{z})}} = \frac{\ln a}{\ln{(1+\frac{1}{z})^z}}$

Teraz należy wykazać, że przy $x \to 0$ mianownik dąży do jednego. Otóż:

$z = \frac{1}{a^x - 1}$

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem, wobec ciągłości logarytmu:

$\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x} = \frac{\ln a}{\ln\lim\limits_{z \to \infty}(1+\frac{1}{z})^z}$

Granica w mianowniku dąży do e, więc mianownik dąży do $\ln e=\log_e e = 1\;$ , co było do okazania.

[edytuj] Własności

$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\;$ dla $x,y>0\;$
$\ln(x)<\ln(y)\;$ dla $0<x<y\;$
$\frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h$ dla $h > - 1$

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję $\ln:(0,\infty)\to\mathbb R$

$\ln\left( \frac{x}{y}\right) =\ln(x)-\ln(y)\;$ dla $x,y>0\;$
Jeśli ciąg $c_n\to 0,c_n>-1,c_n\ne0$ , to:

$\frac{\ln(1+c_n)}{c_n}\to1$

$\ln e^{x} = x\$ ,
$e ln x = x$ dla $x > 0$ ,
$\ln x\ = \ln 10\cdot \log x\ \approx 2,303\ \log x\$
$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
$\int \frac{f^\prime (x)}{f(x)}dx=\ln |f(x) |+C$

[edytuj] Rozwinięcie w szereg Maclaurina

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ dla $-1<x\leqslant 1$

$\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n = (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots$ dla $0<x\leqslant 2$

[edytuj] Zobacz też

"Będzie bardzo szybka, może nawet na rekord świata"

Polscy pływacy niedawno zakończyli zgrupowanie wysokogórskie w Sierra Nevada. Po starcie w Słowenii wrócili na kilka dni do Polski. Trener Paweł Słomiński jest zadowolony z postępów przygotowań do IO w Pekinie.

Pekin 2008: wioślarze zakończyli przygotowania w kraju

Trzykrotni mistrzowie świata w wioślarskiej czwórce podwójnej - Adam Korol, Marek Kolbowicz, Michał Jeliński i Konrad Wasielewski, podobnie jak cztery pozostałe osady z olimpijskimi kwalifikacjami, zakończyli przygotowania w kraju i na krótko udali się do domów.

10 milionów euro za 16-latka

Inter Mediolan kupił za 10 milionów euro 16-letniego pomocnika Vasco Da Gama - Philippe Coutinho Correię - bardziej znanego jako "Coutinho".

WTA w Los Angeles: awans Jankovic

Jelena Jankovic (Serbia, 1) pokonała Vanię King (USA) 7:5, 6:2 w drugiej rundzie turnieju WTA Tour na twardych kortach w Los Angeles (z pulą nagród 600 tys. dol.).

"Z Hiszpanii do reprezentacji mam równie daleko"

Adrian Sikora, były piłkarz Groclinu Dyskobolia Grodzisk Wlkp., twierdzi, że po przeprowadzce do hiszpańskiego Realu Murcia, wcale nie będzie mu łatwiej dostać powołanie do reprezentacji Polski.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia