Miara Diraca - Google

Miara Diraca

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Miara Diraca – w matematyce miara określona przypisująca wybranemu jednoelementowemu podzbiorowi przestrzeni mierzalnej wartość 1.

[edytuj] Definicja

Niech (X,{\mathfrak M}) przestrzenią mierzalną oraz niech x \in X. Definujemy miarę δx na tej przestrzeni przez

\delta_x(A) = \begin{cases} 0, & x \notin A, \\ 1, & x \in A \end{cases}

dla dowolnego zbioru mierzalnego A \in {\mathfrak M}.

Miara Diraca jest unormowana, czyli jest miarą probabilistyczną, i w języku prawdopodobieństwa reprezentuje prawie pewne wybranie x z przestrzeni próbek X. Można powiedzieć także, że miara jest pojedynczym atomem w x; jednakże traktowanie miary Diraca jako miary atomowej nie jest poprawne, jeśli korzysta się z ciągowej definicji delty Diraca jako granicy ciągu delta. Miary Diraca są punktami ekstremalnymi zbioru wypukłego miar prawdopodobieństwa na X.

Nazwa została ukuta później od funkcji delta Diraca, rozpatrywanej jako dystrybucji Schwartza, przykładowo na prostej rzeczywistej; miary można uważać za specjalne rodzaje dystrybycji. Tożsamość

\int\limits_X~f(y) \, \mathrm{d} \delta_x(y) = f(x),

która w postaci

\int\limits_X~f(y) \delta_x y \, \mathrm{d}(y) = f(x)

brana jest często jako część definicji „funkcji delta”, jest prawdziwa jako twierdzenie teorii całki Lebesgue'a.

[edytuj] Własności

Niech δx oznacza miarę Diraca określoną w pewnym punkcie x przestrzeni mierzalnej (X, \mathfrak M).

  • δx jest miarą unormowaną, stąd skończoną.

Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną, a \mathfrak M będzie σ-ciałem podzbiorów X zawierającym wszystkie borelowskie podzbiory X.

  • δx jest miarą ściśle dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy topologia τ jest taka, że x leży wewnątrz każdego zbioru otwartego, np. w przypadku topologii trywialnej \{\varnothing, X\}.
  • Ponieważ δx jest miarą unormowaną, jest również lokalnie skończona.
  • Jeżeli X jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa ze swoją σ-algebrą borelowską, to δx spełnia warunek bycia miarą wewnętrzną regularną, ponieważ zbiory jednoelementowe, takie jak {x}, są zawsze zwarte. Stąd δx jest również miarą Radona.
  • Jeśli zbiór {x} jest domknięty w topologii τ, to nośnikiem δx jest {x}. (W przeciwnym wypadku \operatorname{supp}(\delta_x) jest domknięciem {x} w (X,τ).) Co więcej, δx jest jedyną miarą probabilistyczną, której nośnikiem jest {x}.
  • Jeżeli X jest n-wymiarową przestrzenią euklidesową \mathbb R^n z σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz n-wymiarową miarą Lebesgue'a λn, to δx jest miarą osobliwą względem λn: należy po prostu rozłożyć \mathbb R^n na A = \mathbb R^n \setminus \{x\} oraz B = {x} i zabserwować, że δx(A) = λn(B) = 0.

[edytuj] Zobacz też


Cracovia rusza na wielkie zakupy
Tomasz Lisowski, Robert Lewandowski i Bartłomiej Grzelak to czołówka listy życzeń Cracovii. Pasy chcą wzmocnić siłę ofensywną zespołu, bo zimą dokonano trafnych wyborów w defensywie - czytamy w "Przeglądzie Sportowym".
Jest porozumienie ws. fuzji Groclinu i Śląska
W czwartek późnym popołudniem Rafał Dutkiewicz, prezydent Wrocławia, porozumiał się ze Zbigniewem Drzymałą, właścicielem Groclinu Grodzisk Wielkopolski. Wrocław odkupi od prezesa klubu z Wielkopolski akcje. Miasto będzie miało 80 procent udziałów w połączonej drużynie Groclinu i Śląska Wrocław - informuje "Przegląd Sportowy".
AaB Aalborg mistrzem Danii
Piłkarze AaB Aalborg po raz trzeci w historii zostali mistrzami Danii. Na dwie kolejki przed zakończeniem rozgrywek ekstraklasy w sezonie 2007/2008 mają osiem punktów przewagi nad broniącym tytułu FC Kopenhaga.
Legia włącza się do walki o piłkarza Ruchu
Kluby z Niemiec, Anglii i Holandii chętnie widziałyby u siebie słowackiego pomocnika Ruchu Chorzów Pavola Balaza. Do walki o tego zawodnika włącza się także Legia Warszawa - pisze "Przegląd Sportowy".
"Polscy piłkarze przeginają"
Zdaniem Jana Chmury, fizjologa Zagłębia Lubin, polscy piłkarze nie są profesjonalistami. Świadczy o tym ich podejście podczas urlopów - czytamy w "Przeglądzie Sportowym".
Linki: Strona gwna