Wymiar Hausdorffa - Google

Wymiar Hausdorffa

Z Wikipedii

(Przekierowano z Miara Hausdorffa)
Skocz do: nawigacji, szukaj

Wymiar Hausdorffa – cecha numeryczna zbioru w przestrzeni metrycznej; nazwa tego wymiaru honoruje Feliksa Hausdorffa, który ten wymiar zdefiniował.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech s  > 0. Niech \;(X, d) będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru E \subseteq X określamy miarę zewnętrzną

H^s_\delta(E) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \operatorname{diam}(A_i)^s\right\},

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów \,\{A_i\}_i, które pokrywają E\, i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej \,\delta.

Gdy \delta\, maleje, to H^s_\delta(E) rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa (dla wykładnika s):

H^s(E) = \lim_{\delta \to 0}~H^s_\delta(E).

Łatwo sprawdzić, że:

  • H^s(E) = 0 \implies H^t(E) = 0     dla każdego \,t>s;
  • H^s(E) = \infty \implies H^t(E) = \infty     dla każdego \,t<s.

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

\operatorname{dim}_H(E) = \inf \{s\colon H^s(E) = 0\} = \sup \{s\colon H^s(E) = \infty\}.

[edytuj] Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)  [1]  udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię, i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych, zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)  [2], w terminach nie miary Hausdorffa, lecz logarytmu minimalnych liczności ε-pokryć, podzielonego przez log(ε).

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witold Hurewicza i Henry Wallmana [3]; patrz też rosyjskie tłumaczenie [4], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

[edytuj] Praktyczna metoda liczenia

W większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej np. takich jak Kostka Mengera policzenie wymiaru Haussdorfa sprowadza sie do zbadania zbieżności szeregu geometrycznego z zsumowanych miar jego zmniejszanych elementów z potęgą wymiaru z każdej rekurencji tzn. kiedy suma ta staje się nieskończona. Suma ta jest szczególnym wyborem z rodziny zbiorów z definicji H^s_\delta(E). Wymiar Haussdorfa jest równy nawiększej wartości potęgi dla której powstały ciąg geometryczny oraz szereg stają się rozbieżne.

Przykład: dywan Sierpińskiego:

W każdej rekurencji usuwa się 8n kwadratów o boku 1 / 3n. Suma szeregu jest wtedy dana przez

\frac{}{}Z(\gamma)= \left(\frac{1}{3}\right)^{\gamma}+8 \left(\frac{1}{3^2}\right)^{\gamma}+ 8^2 \left(\frac{1}{3^3}\right)^{\gamma}+8^3 \left(\frac{1}{3^4}\right)^{\gamma}+...

co jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie

q=\frac{8}{3^{\gamma}}

Ciąg ten i suma stają się rozbieżne gdy q = 1 tzn. wymiar Haussdorfa dywanu Sierpińskiego wynosi

\gamma=\frac{\log(8)}{\log(3)}\approx 1,8928

Dla kostki Mengera będzie to więc log(20) / log(3), dla piramidy Sierpińskiego log(4) / log(2), a dla zbioru Cantora log(2) / log(3).


Przypisy

  1. ↑ Szpilrajn, La dimension et la mesure, Fund. math., 28 (1937), 81-89
  2. ↑ Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156-162
  3. ↑ Witold Hurewicz and Henry Wallman, Dimension Theory, 1941
  4. ↑ Witold Hurewicz i Henry Wallman, Теория Размерности, И*Л, 1948, Μοсква

[edytuj] Zobacz też


Zalążek artykułu To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.

Segment pism dla rodziców zanotował wzrost sprzedaży
Wszystkie miesięczniki dla rodziców zanotowały w lutym br. wyższą sprzedaż ogółem w porównaniu z lutym ub.r. – wynika z danych Związku Kontroli Dystrybucji Prasy.
Zawitkowski nowym naczelnym "Dziewczyny"
Robert Zawitkowski będzie redaktorem naczelnym miesięcznika młodzieżowego "Dziewczyna" (Axel Springer Polska).
Minister skarbu państwa chce kuratora sądowego Polskiego Radia
Minister skarbu państwa Aleksander Grad zwrócił się do sądu o ustanowienie kuratora Polskiego Radia. Chce w ten sposób przeciwdziałać paraliżowi we władzach spółki.
TVN24 wyrusza na Euro 2008 helikopterem
Komentatorami rozgrywek Euro 2008 w TVN24 będą Jan Tomaszewski i Olaf Lubaszenko. Do obsługi mistrzostw Europy w piłce nożnej stacja wykorzysta też śmigłowiec Błękitny 24, który poleci do Austrii.
Polsat News ruszy 1 czerwca i z brytyjską koncesją
Kanał informacyjny Polsatu wystartuje 1 czerwca br. i będzie nadawał z brytyjską koncesją – dowiedział się "Presserwis".
Linki: Strona gwna